Fibonacci

Fibonacci a fost unul dintre cei mai mari matematicieni ai Evului Mediu. El s-a n[scut ]n anul 1175, ]n Italia =i a fost educat ]n Nordul Africii, unde tat[l s[u de\inea un post diplomatic.

Marele matematician a r[mas ]n memoria noastr[ prin binecunoscutul +ir Fibonacci: 0 ,1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

}n anul 1202 fost introdus acest =ir de c[tre Fibonacci, atunci matematicianul fiind sub numele de Leonardo Pisano (Leonard din Pisa).

}n acela=i an Fibonacci public[ un tratat de aritmetic[ =i algebr[ numit „Liber abaci”. }n acest tratat, el introduce pentru prima dat[ ]n Europa sistemul de numera\ie pozi\ional arab. De asemenea, ]n anul 1220 el public[ „Practica geometriae”, un compendiu de rezultate din geometrie =i trigonometrie, iar ]n 1225 „Liber quadratorum”, ]n care studia calculul radicalilor cubici.

Mai t`rziu, matematicianul ]nsu=i =i-a spus Leonardus filius Bonacci Pisanus (Leonard fiul lui Bonacci Pisanul).

}n secolul XIV =irul prezentat mai sus a fost denumit +irul lui Fibonacci prin contrac\ia cuvintelor filius Bonacci. Acest =ir apare ]n cartea „Liber abaci” =i este utilizat ]n rezolvarea unei probleme de matematic[.

O problem[ pe care a investigat-o Fibonacci ]n anul 1202, ]n cadrul unui concurs de matematic[ condus de ]mp[ratul Frederick al II-lea, suna astfel:

Presupunem c[ o pereche de iepuri nou-n[scut[, un mascul =i o femel[, este pus[ pe un c`mp. Iepurii sunt capabili s[ se ]mperecheze de la v`rsta de o lun[ astfel ]nc`t la sf`r=itul celei de-a doua luni din via\a femelei, ea na=te o alt[ pereche de iepuri. Presupun`nd c[ iepurii nu mor niciodat[ =i c[ femela na=te ]ntotdeauna o perche nou[ (o femel[, un mascul) ]n fiecare lun[ ]ncep`nd cu cea de-a doua lun[, calcula\i c`te perechi de iepuri vor fi ]ntr-un an.

}n continuare va fi prezentat[ solu\ia problemei ]n care vestitul =ir al lui Fibonacci poate fi utilizat ]n rezolvare.

Solu\ie:

1. La sf`r=itul primei luni, iepurii se ]mperecheaz[, dar ]nc[ mai exist[ doar o singur[ pereche.

2. La sf`r=itul celei de-a doua luni, femela produce o nou[ pereche, astfel ]nc`t pe c`mp se afl[ dou[ perechi de iepuri.

3. La sf`r=itul celei de-a treia luni, femela ini\ial[ na=te a doua pereche, rezult`nd acum trei perechi de iepuri ]n c`mp.

4. La sf`r=itul celei de-a patra luni, femela ini\ial[ a produs deja o alt[ pereche, iar femela n[scut[ acum dou[ luni produce prima ei pereche, rezult`nd cinci perechi de iepuri.

Num[rul de perechi de iepuri din c`mp la ]nceputul fiec[rei luni este: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ........

Se poate observa de ce acesta este r[spunsul la aceast[ problem[? Iat[ de ce:

Dac[ consider[m f(n) = num[rul de perechi de iepuri din c`mp la ]nceputul lunii n, vom ar[ta c[ f(1)=1, f(2)=1 =i f(n)=f(n-1)+f(n-2), care este exact defini\ia +irului lui Fibonacci (care are de asemenea f(0)=0).

}n primul r`nd ]ncepem cu luna 1 cu o pereche de iepuri nou-n[scut[, deci: f(1)=1

Exist[ de asemenea o pereche doar ]n timpul lunii a 2-a pentru c[ nu sunt suficient de maturi s[ aib[ urma=i, astfel ]nc`t: f(2)=1

Deoarece presupunem c[ ei se ]mperecheaz[ la v`rsta de 2 luni, atunci o nou[ pereche este n[scut[ la ]nceputul lunii a treia.

Deci, c`\i iepuri vor fi dup[ cea de-a doua lun[? Ce este f(n)?

To\i iepurii din luna precedent[ (vor fi f(n-1) din ei) au supravie\uit, a=a c[ vor fi cel pu\in f(n-1) din ei. C`\i iepuri noi s-au n[scut? Fiecare pereche de iepuri care s-au n[scut acum dou[ luni este capabil[ s[ produc[ o nou[ pereche =i presupunem c[ ]ntotdeauna vor produce =i fiecare va putea s[ produc[ o singur[ pereche nou[ pe lun[. Astfel, num[rul de perechi de nou-n[scu\i este acela=i cu num[rul de perechi 2 care tr[iesc de dou[ luni: f(n-2). De vreme ce to\i iepurii s-au n[scut luna trecut[ sau sunt n[scu\i luna aceasta, vom avea:

f(n) = f(n-1) + f(n-2) dac[ n>2

care este defini\ia +irului lui Fibonacci (]ncep`nd cu 0 =i 1).

Sec\iunea de aur

Problema ]nmul\irii iepurilor este departe de a fi realist[, chiar dac[ a dus la o descoperire at`t de important[ cum este acest

=ir. Dar cunoscutul +ir al lui Fibonacci, generat de aceast[ problem[, are numeroase aplica\ii deosebit de interesante. Unul dintre cele mai importante aspecte este leg[tura dintre numerele Fibonacci =i sec\iunea de aur.

Sec\iunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole o fascina\ie pentru matematicieni =i arti=ti. Ca =i numerele ira\ionale p sau e , pare a face parte din „constitu\ia” Universului, sec\iunea de aur reg[sindu-se sistematic ]n lumea vie. De exemplu, o reg[sim ]n modul de dispunere al frunzelor, petalelor sau semin\elor de plante, ]n raportul dintre diferite p[r\i ale corpului omenesc, etc...

Acest num[r a fost cunoscut =i studiat ]nc[ din antichitate, sculptura =i arhitectura Greciei Antice din secolul 5 ].H. respect`nd cu rigurozitate sec\iunea de aur, ea fiind considerat[ o m[sur[ a armoniei =i echilibrului.

Dup[ anul 1228, nu se mai aude nimic despre via\a lui Fibonacci. Totu=i, se =tie c[ la sentin\[ Republica din Pisa l-a premiat cu un salariu anual ]n plus fa\[ de obi=nuitele ]ncuviin\[ri. Aceast[ leaf[ l-a r[spl[tit pe Fibonacci pentru sfaturile lui c[tre Republic[ ]n probleme legate de contabilitate =i de matematic[.

Marele matematician a murit c`ndva dup[ anul 1240, probabil ]n Pisa.

CIORTEA CLAUDIU

- clasa 9-a J-

Colegiul Na\ional „Mihai Viteazul”

Profesor: Mioara Gheorghe