ELEMENTE DE LOGICA MATEMATICA
Enunturi si propozitii
Definitie: O multime finita de semne se numeste alfabet.
Definitie: Se numeste enunt orice succesiune de semne dintr-un alfaben dat.
Logica matematica studiaza acele enunturi care sunt fie adevarate, fie false.
Definitie: Se numeste propozitie un enunt care poate fi adevarat sau fals, niciodata adevarat si fals simultan.
p, q, r-notate 14719sxp54zdp7q
Balena este un peste. F
Propozitiile sunt legate intre ele cu ajutorul conectari logicii:
„ ”- „non” (negatia propozitie);
„ L ” - „si” (conjunctia propozitiei); xd719s4154zddp
„V ”- „sau” (disjunctia propozitiei);
„ ® ”-„implica” (implicatia propozitiei);
„ « ”-„echivalent” (echivalenta propozitiei);
Daca o propozitie este adevarata spunem ca ea apare ca valoare de adevar, adevarul si notam „A” sau „1” .
Daca o propozitie este falsa spunem ca ea are ca valoare de adevar falsul notam „F” sau „0” .
Valoarea de adevar a unei propozitii p se noteaza v(p).
Negatia propozitiei
Definitie: Negatia unei propozitii p este propozitia notata p care are valoarea de adevar v( p)=1-v(p).
Exemplu:
Propozitia ”Romania se afla in Asia.” are negatia „ Romania nu se afla in Asia.”.
Propozitia „3<7” are negatia „3³7”.
Conjunctia propozitiei
Definitie: Conjunctia a doua propozitii p,q este propozitia notata p L q cu valoarea de adevar v(p L q)=v(p) v(q).
p |
q |
pL |
q |
|
1
1 |
1
0 |
1
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Conjunctia a doua propozitii este o propozitie adevarata doar atunci cand ambele propozitii sunt adevarate si este falsa in celelalte cazuri.
Exemple:
1.”Crapul este un peste si 8 este par.” este adevarata.
2. 3=5 si 11:3” este falsa.
Disjunctia propozitiei
Definitie: Disjunctia a doua propozitii p,q este propozitia notata p V q cu v(p V q)=v(p)+v(q)-v(p) v(q).
p |
q |
pV |
q |
|
1
1 |
1
0 |
1
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
Disjunctia a doua propozitii este o propozitie falsa doar atunci cand ambele propozitii sunt false.
Exemple:
„20:4=5 sau 3×4=12” este adevarata.
„25:5=3 sau 12<5” este falsa.
Implicatia
Definitie: Implicatia propozitiilor p,q este propozitia notata p® q, cu v(p® q)=1-v(p)+v(p) v(q).
p ® q sau p® q
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
Implicatia a doua propozitii este o propozitie falsa doar atunci cand adevarul implica falsul.
p- premisa sau ipostaza
q- concluzie
Exemplu: 3=3, pentru ca 2>3.” este falsa.
Echivalenta
Definitie: Echivalenta propozitiei p,q este propozitia p«q cu v(p« q) =1-v(p)-v(q)+2v(p) v(q).
p « q sau (p ® q) (q ® p)
p |
q |
p®q |
q«p |
p«q |
1
1
0
0 |
1
0
1
0 |
1
0
1
1 |
1
1
0
1 |
1
0
0
1 |
Doua propozitii sunt echivalente doar atunci cand ambele propozitii au aceeasi valoare de adevar.
Doua propozitii compuse sunt echivalente («) atunci cand pentru aceeasi valoare ale propozitiei componente prop compuse au aceeasi valoare de adevar.
Exemple:
1.”3>2 daca si numai daca 5<6” este propozitie adevarata.
2. „3=5 daca si numai daca ursii se hranesc cu beton” este propozitie falsa.
Definitie:O expresie a carui valoare de adevar este adevarul indiferent de valorile propozitiei componente se numeste tautologie.
Teorema: Fie p,q propozitii. Avem [(p®q) L (q ®p)] «(p«q).
p |
q |
p®q |
q®p |
(p®q) L(q®p) |
p«q |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Teorema: Legea dublei negatii : p « q
p |
p |
p |
p« q |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Exemplu:
Este fals ca „Ana nu mers la cinema”, adica „Ana a mers la cinema.” |
Legea tertului exclus : Propozitia p V q este adevarata.
Exemple: „3²+4²=5² sau 3²+4²¹5²”
Metoda reducerii la absurd: Fie p,q propozitii. Avem
(p®q) « ( q® p).
p |
q |
P ® q |
q ® p |
(p ®q)® ( q®p) |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
