Distante

de Coman Alexandru

• Distanta dintre doua puncte

Distanta dintre doua puncte este segmentul de dreapta ce uneste cele doua puncte.

• Distanta de la un punct la o dreapta

Distanta de la un punct la o dreapta este lungimea perpendicularei duse din acest punct pe dreapta data.

• Distanta de la un punct la un plan

Prin distanta de la un punct M la un plan a, intelegem lungimea MN, unde NIa este piciorul perpendicularei duse din M pe a.

• Distanta dintre doua drepte paralele 32472sdr62ker5j

Distanta dintre doua drepte paralele este distanta de la un punct de pe una din drepte la cealalta drepta.

• Distanta dintre doua plane paralele

Distanta dintre doua plane paralele este distanta de la un punct dintr-un plan la celalalt plan.

• Observatie: Pentru calcularea distantei de la un punct la o dreapta construim perpendiculara din acel punct pe acea drepta si cautam un triunghi eventual dreptunghic in care aceasta distanta sa fie o latura sau linie importanta.

• Observatie(2): Segmentul cel mai scurt de la un punct exterior unui plan la acel plan este segmentul perpendicular pe planul dat.

Aplicatii

1)

Ip. ∆ABC isoscel

AB=AC=15cm, BC=18cm

AM^(ABC), AM=12

1. dist.(M, BC)=?

Dem.:

Ducem AD^BC, DIBC

AM^(ABC)

AD^BC T.3.^.

ADÌ(ABC) Þ MD^BC Þ dist.(M,BC)=MD

BCÌ(ABC)

∆ABC isoscel Þ AD mediana Þ BDºDC Þ BD=DC=9

AD inaltime dar BC=18

AD^BC Þ ∆ABD dreptunghic

Þ AD²=AB²-BD²

AD²=225-81

AD²=144

AD=12

AM^(ABC) Þ AM^AD Þ ∆MAD dreptunghic

ADÌ(ABC)

Þ MD²=MA²+AD²

MD²=144×3+144

MD²=144×4

MD=24

2)

Ip. ∆ABC dreptunghic( m(<A)=90°)

AM^(ABC), AM=3cm

AB=6cm, AC=6

3. dist.(M, BC)=?

Dem.:

Ducem AD^BC, DIBC

AM^(ABC)

AD^BC T.3.^.

ADÌ(ABC) Þ MD^BC Þ dist.(M,BC)=MD

BCÌ(ABC)

AM^(ABC) Þ AM^AD Þ ∆MAD dreptunghic

ADÌ(ABC)

∆ABC dreptunghic

Þ BC²=AB²+AC²

BC²=36+108

BC²=144

BC=12

AD^BC Þ AD inaltime Þ AD= Þ AD=

∆ABC dreptunghic

Þ AD=

∆MAD dreptunghic

Þ MD²=AM²+AD²

MD²=9+27

MD²=25

MD=5

3)

Ip. ABCD dreptunghi, AB=16cm, Bc=9cm

AM^(ABC), AM=12cm

3. dist.(M, AB)=?

dist.(M, BC)=?

dist.(M, CD)=?

dist.(M, AD)=?

Dem.:

AM^(ABC) Þ MA^AD Þ dist.(M, AD)=AM=12

ADÌ(ABC)

AM^(ABC) Þ MA^AB Þ dist.(M, AB)=AM=12

ABÌ(ABC)

AM^(ABC) T.3.^.

AD^DC Þ MD^DC Þ dist.(M, DC)=MD

ADÌ(ABC)

DCÌ(ABC)

AM^(ABC) T.3.^.

AB^BC Þ MB^BC Þ dist.(M, BC)=MB

ABÌ(ABC)

BCÌ(ABC)

MA^AD Þ ∆MAD dreptunghic Þ MD²=AM²+AD²

MD²=144+81

MD²=225

MD=15

MA^AB Þ ∆MAB dreptunghic Þ MB²=AM²+AB²

MB²=144+256

MB²=400

MB=20

4)

Ip. ABCD dreptunghi(AC∩BD={O}), AB=32cm, BC=18cm

OM^(ABC), OM=12cm

C. dist.(M, AB)=?

dist.(M, BC)=?

dist.(M, CD)=?

dist.(M, AD)=?

Dem.:

Ducem OE^AB, EIAB

OF^BC, FIBC

OG^DC, GIDC

OH^AD, HIAD

OM^(ABC) T.3.^

OE^AB Þ ME^AB Þ dist.(M, AB)=ME

OEÌ(ABC)

ABÌ(ABC)

OM^(ABC) T.3.^

OF^BC Þ MF^BC Þ dist.(M, BC)=MF

OFÌ(ABC)

BCÌ(ABC)

OM^(ABC) T.3.^

OG^CD Þ MG^AB Þ dist.(M, CD)=MG

OGÌ(ABC)

CDÌ(ABC)

OM^(ABC) T.3.^

OH^AD Þ MH^AD Þ dist.(M, AD)=MH

OHÌ(ABC)

ADÌ(ABC)

ABCD dreptunghi Þ AO≡OC

BO≡OD Þ ∆AOB, ∆BOC, ∆COD, ∆AOD isoscele

AC≡BD

∆AOB isoscel Þ OE mediana Þ AE≡EB Þ AE=EB=16

OE inaltime AB=32

∆BOC isoscel Þ OF mediana Þ BF≡FC Þ BF=FC=9

OF inaltime BC=18

∆COD isoscel Þ OG mediana Þ CG≡GD Þ CG=GD=16

OG inaltime CD=32

∆AOD isoscel Þ OH mediana Þ DH≡HA Þ AH=HA=9

OH inaltime AD=18

OE^AB Þ AD║EO

AD^AB Þ AEON paralelogram Þ OE=9

OE^AE Þ AE║ON

OE^ON

OF^BC Þ AB║OF

AB^BC Þ EBFO paralelogram Þ OF=16

OE^AB Þ OE║BF

FB^AB

OG^DC Þ OG║FC

FC^DC Þ OFCG paralelogram Þ OG=9

OF^BC Þ GC║OG

GC^BC

ON^AD Þ ON║GD

CD^AD Þ NOGD paralelogram Þ OE=16

ND^DC Þ ND║OG

OG^DG

∆MOE dreptunghic Þ ME²=OM²+OE²

ME²=144+81

ME²=225 Þ ME=15

∆MOF dreptunghic Þ MF²=OM²+OF²

MF²=144+256

MF²=400 Þ MF=20

∆MOG dreptunghic Þ MG²=OM²+OG²

MG²=144+81

MG²=225 Þ MG=15

∆MOH dreptunghic Þ MH²=OM²+OH²

MH²=144+256

MH²=400 Þ MG=20