Perpendiculara comuna a doua drepte din spatiu

Daca a,b sunt doua drepte necoplanare, atunci exista o dreapta unica perpendicualra atat pe a cat si pe b , care le intalneste pe amandoua. 35177osr26nnu7q

1. Existenta

Fie a,b 2 drepte necoplanare

Fie PIa ,prin P duc b’ ½½ la b. Consider a=(a,b’)

Duc b^a, aÌb ,bÇb={M} sn177o5326nnnu

Fie MN^a (NIa) Þ MN este dreapta cautata.

a^b Þ MN^a ÞMN^b’ Þ MN^b

MNÌb b’Ìa b’ ½½ b Dar MN^a (constructie)

Þ($)MN a.i (MN^a )Ù(MN^b) (a,b necoplanare)

2) Unicitatea

1. P.p.a ca ($) 2 drepte cu un punct comun (MN si NP ) a.i

(MN^a)Ù(MN^b)

(PN^a)Ù(PN^b)

NM^b

NP ^b => Dintr-un punct din spatiu am dus pe o dreapta 2 perpendiculare =>F

=>($!) MN a.i (MN^a)Ù(MN^b)

Fie AA’ perpendiculara comuna a dreptelor necoplanare d,d’ si MId, M’Id’ a.i (AM)º(A’M’). Sa se afle locul geometric al mijlocului segmentului [MM’].

Rezolvare

1.Gasirea locului

Fie a a.i dÌa

Fie g=(AA’,d’); AA’Ìg Þg^a

AA’^d Þ AA’^a

dÌa

gÇa=d’’

Prin A’ duc d’’’½½d => (d’’’,d)=b

Duc M’M’’^a

g^a Þ M’’Ìg Þ M’’Id’’

M’Ìg gÇa={d’’}

Fie MM’’’^d’’’ (M’’’Id’’’)

M’M’’’½½MM’’ ÞMM’’’M’’M’=paralelogram

M’’’M^d ÞM’’’M½½AA’½½M’’M’

AA’ ^ d

Fie S a.i [M’S]º[SM]
P a.i [M’P]º[PM’’’]

Q a.i [M’’Q]º[QM]

[PQ] ½½M’’M’ Þ [PQ] ½½[AA’]

Þ(PQ,AA’)= plan mediator pentru diedrul (g,b)

AA’^d

AA’^d’’ Þ AA’^(d,d’’)

AI(d,d’’) Þ AQÌ(d,d’’) ÞAA’^AQ

QI(d,d’’) AA’½½PQ Þ

ÞAA’PQ=dreptunghi

Fie b’=[AA’,M si g’=[AA’,M’

Pt M’=A’ si M=A , OIl.g

Unim pe O cu S (mijloacele a 2 laturi paralele in dreptunghi )

ÞOS^AA’ si OS^ PQ

2. (") NId si N’Id’ a.i ½A’N’½=½AN½ si ½NS’½=½N’S’½ => OS’^AA’ si OS’=OS

Se construieste dreptunghiul A’P’Q’A situat in planul mediator al diedrului (b,g)

Analog ca la punctul anterior.

ÞOS’^A’A

ÞOS’=OS (pe o dreapta (AA’) din plan (planul mediator), pe un punct (O) se poate duce o singura perpendiculara)

Þl.g al mijlocului segmentului MM’ este o dreapta perpendiculara pe AA’ in mijlocul ei , situata in planul mediator al diedrului (g,b)

3.Fie S’’ Iplanului mediator al diedrului (b,g), S’’O^AA’ Þ [A’T’]º[AT] T,T’ sunt coturile paralelogramuli in care S’’ e mijlocul diagonalei TT’

A’P”ºAQ” A’P”Q”A dreptunghi (analg dem. anterioara)

[T’P”]º[P”T’’’] (plan mediator)

Þ△T’A’P’’º△T’’’A’P’’ ÞT’A’ºA’T’’’

A’T’’’ºTA Þ T’A’ºTA

Þl.g este format din reuniunea a doua drepte perpendiculare ce trec prin mijlocul segmentului [AA’],situate in planul mediator al planelor determinte de cele doua drepte (d,d’) si paralelele duse la fiecare din ele prin piciorul perpendicularei comune.