Logo referatele carte



Progresii aritmetice si geometrice



Progesii  aritmetice

1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE

Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant “ r ” ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica .

An+1 = An + r

2.NOTATIE : An -:

3.PROPRIETATI

P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu                primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.

 

                           An = A1 + (n-1) * r

P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor .

                          

              A1 + An  = A2 + An-1 = … = Ai + An-i+1

P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi .

                            Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2

P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen :

                             Sn = (A1 + An) *n / 2

P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia :

                             Sn = [ 2*A1 + (n-1)*r ]*n/2

4.APLICATII

1(pag71).Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului ,cu termenul al n-lea dat  de formula :

a)    An = 2(la puterea „-n “)

A0 = 2(la puterea  „0“) = 1

A1 = 2(la puterea „-1“) = 1/2

    A2 = 2(la puterea  „-2“) = 1/4

    A3 = 2(la puterea  „-3“) = 1/8

    A4 = 2(la puterea  „-4“) = 1/16

    A5 = 2(la puterea  „-5“) = 1/32

b)    Xn = 5+4*n

X0 = 5         X3 = 17

X1 = 9         X4 = 21 

X2 = 13      X5 = 25

2(pag.72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :

a)    1, 3, 5, 7, 9, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n –1

b)    2, 4, 6, 8, 10, … ;  => An = A1 + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*n

c)    3, -3, 3, -3, … ;  => An = 3* (-1)(la puterea n)

d)    1/3, 1/9, 1/27, 1/81, … ;  => An = 1/3(la puterea n)

3(pag.72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula

Xn = 6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :

a)    -102  (DA)

6- 4*n = -102  => 4*n = 108  => n = 27

b)    -132  (NU)

6- 4*n = -132  => 4*n = 138  => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)

c)    100

6- 4*n = 100  => 4*n = -94  => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale)

7(pag.72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :

a)    A1 = 7 , r = 2

A2 = A1 + r = 9

A3 = 11

A4 = 13

b)    A1 = -3 , r = 5

A2 = A1 + r = 2

A3 = 7

A4 = 12

16(pag.73). Sa se rezolve ecuatiile :

a)    1 + 7 + 13 + … +X = 280

An = A1 + (n-1)*r

X = 1 + (n-1)*6

X = 6*n –5

Sn = (A1 + An)*n/2 = 280

(A1 + X)*n/2 = 280  => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280

6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0

D = 3364

=> n1 = 10 ; n2 = -28 (nu convine)

=>X = 6*10 -5 = 55

b)    (X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + … + (X + 28) = 155

An = A1 + (n-1)*r

X + 28 = X + 1 + (n-1)*3

27 = (n-1)*3  => n = 10

S10 = (A1 + A10)*10/2 = 155  => 2*X + 29 = 31  => X = 1

20(pag.73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.

S1 = A1

S2 = A1 + A2

S3 = A1 + A2 + A3

Sn-1 = A1 + A2 + … + An-1

Sn = A1 + A2 + … + An-1 + An

A1 = S1 = 4

A2 = S2 - S1 = 1

A3 = S3 - S2 = 3

A4 = S4 - S3 = 5

2*A2 = A1 + A3  => 2 = 3 + 4 (F)

=>Sirul nu este o progresie aritmetica

Pogresii geometrice


   

 

    

1.DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE

   Fie un sir (Bn) n>=1 , B1<>0

   Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie.

                                   Bn = Bn-1 *q

2.NOTATIE :  :-: (Bn) n>=1

3.PROPRIETATI

P1: Daca avem “ n ” termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere  de cati termeni sunt inaintea lui.

                              

                             Bn = B1 *q(la puterea n-1)

P2: Daca B1, B2, … , Bn sunt  “ n “ termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor.

                      B1*Bn = B2*Bn-1 = … = Bi*Bn-i+1

P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi.

                             Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1

R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.

P4: Suma primilor “ n “ termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este :

                              

                                  Sn = B1 * q(la puterea n)-1/q-1

4.APLICATII

 

26(pag.73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :

a)    B1 = 6 , q = 2

B2 = B1*q = 12

B3 = B2*q = 24

B4 = B3*q = 48

B5 = B4*q = 96

b) B2 = -10 , q = 1/2

     B1 = B2/q = -20

     B3 = B2*q = -5

     B4 = B3*q = -5/2

     B5 = B4*q = -5/4

27(pag.73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :

a)    Y1, Y2, 24, 36, 54, … ;

36 = 24*q  =>  q = 36/24 = 3/2

24 = Y2*q  =>  24 = Y2*3/2  =>  Y2 = 24*2/3 = 16

    16 = Y1*q  =>  16 = Y1*3/2  =>  Y1 = 32/3

b)    Y1, Y2, 225, -135, 81, … ;

-135 = 225*q  =>  q = -135/225 = -9/17  

225 = Y2*q  =>  225 = Y2*-9/17  =>  Y2 = -425

-425 = Y1*-9/17  =>  Y1 = 7225/9

28(pag.784). Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn) :

a)    B3 = 6 , B5 = 24 , sa se gaseasca B7, B9, B10;

B3 = B1*q(la puterea 2)

B5 = B1*q(la puterea 4)

=> 6/24 = q(la puterea -2)  => q = 2

    B3 = B1*q(la puterea 2)  => B1 = 3/2

    =>  B7 = B1*q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96

    =>  B9 = B1*q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384

=>B10 = B1*q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768

      

30(pag.74). Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :

a)    B1 = 2

Bn+1 = 3*Bn

Bn = B1*q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1)

Bn+1 = Bn*q  =>  3*Bn = Bn*q  =>  q = 3

ð        Bn = 2/3*3(la puterea n)

1.    Rezolvati ecuatia : 1+X+X²+…+X¹ss = 0

Sn = 1*(1- X¹s¹)/(1- X)

1-    X <>0 => X<>1

=> 1- X¹s¹ = 0  => X¹s¹ = 1  => X¹s¹ = cos0 +i*sin0

=> Xk = ¹s¹cos0 + i*sin0 = cos2k_/101 + i*sin2k_/101

k=0  => X=1 (nu convine)

k=1  => X=cos2_/101 + i*sin2_/101

k=100  => X=cos200_/101 + i*sin200_/101

2.    Intr-o progresie geometrica avem S3= 40, S6= 60. Sa se gaseasca S9.

S3= B1*(q³-1)/(q-1)

S6= B1*(q -1)/(q-1)

=> S3/S6= (q³-1)/(q -1)= 2/3

=> 3*q³-3 = 2*q -2

    => 2*q +3*q³-1= 0[G1] 

Notam: q³ = y

=> 2*y²-3*y+1= 0

     Δ= 1 => y1=2,  y2=1

=> q³=1  => q=1(nu convine)

=> q³=2  => q=³2

=> S3= B1*(q³-1)/(q-1)= 40  => B1=40(³2 -1)

=>S9= B1*(q –1)/(q-1) = 280

3.    Sa se determine x astfel incat numerele a+x, b+x, c+x sa fie in progresie geometrica.

 

   (b+x)² = (a+x)*(c+x)

   b² + 2bx + x² = ac +ax +cx +x²

   b²-ac = x( a+c-2b)

   => x =(b²-ac)/(a+c-2b)

4.    Gasiti primul termen si ratia intr-o progresie geometrica daca:

A4 + A1=7/16

A3- A2 + A1=7/8

A1*q³ + A1=7/16  => A1(q³ + 1)=7/16

A1*q² -A1*q +A1=7/8  => A1(q² -q +1)=7/8

=> (q³+1)/(q² -q +1)=1/2  => q+1=1/2  => q= -1/2

    => A1(-1/8 +1) =7/16  => A1= 1/2


 [G1]


1

Copyright © Contact | Trimite referat



Ultimele referate adaugate
Mihai Beniuc
   - Mihai beniuc - „poezii"
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - Mihai eminescu - student la berlin
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Mircea Eliade - Mioara Nazdravana (mioriţa)
Vasile Alecsandri Vasile Alecsandri
   - Chirita in provintie de Vasile Alecsandri -expunerea subiectului
Emil Girlenu Emil Girlenu
   - Dragoste de viata de Jack London
Ion Luca Caragiale Ion Luca Caragiale
   - Triumful talentului… (reproducere) de Ion Luca Caragiale
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Fantasticul in proza lui Mircea Eliade - La tiganci
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - „Personalitate creatoare” si „figura a spiritului creator” eminescian
George Calinescu George Calinescu
   - Enigma Otiliei de George Calinescu - geneza, subiectul si tema romanului
Liviu Rebreanu Liviu Rebreanu
   - Arta literara in romanul Ion, - Liviu Rebreanu

Cauta referat
Scriitori romani