|
Progresii aritmetice si geometrice
1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant “ r ” ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica . An+1 = An + r 2.NOTATIE : An -: 27523yfe86gnr6g 3.PROPRIETATI P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.
An = A1 + (n-1) * r fn523y7286gnnr P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor .
A1 + An = A2 + An-1 = … = Ai + An-i+1 P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi . Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2 P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen : Sn = (A1 + An) *n / 2 P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia : Sn = [ 2*A1 + (n-1)*r ]*n/2 4.APLICATII 1(pag71).Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului ,cu termenul al n-lea dat de formula :
A0 = 2(la puterea „0“) = 1 A1 = 2(la puterea „-1“) = 1/2 A2 = 2(la puterea „-2“) = 1/4 A3 = 2(la puterea „-3“) = 1/8 A4 = 2(la puterea „-4“) = 1/16 A5 = 2(la puterea „-5“) = 1/32
X0 = 5 X3 = 17 X1 = 9 X4 = 21 X2 = 13 X5 = 25 2(pag.72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n>=1) pentru fiecare din sirurile :
3(pag.72). Sirul (Xn), n>=1, are termenul general dat de formula Xn = 6- 4*n .Este termen al acestui sir numarul :
6- 4*n = -102 => 4*n = 108 => n = 27
6- 4*n = -132 => 4*n = 138 => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)
6- 4*n = 100 => 4*n = -94 => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale) 7(pag.72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca :
A2 = A1 + r = 9 A3 = 11 A4 = 13
A2 = A1 + r = 2 A3 = 7 A4 = 12 16(pag.73). Sa se rezolve ecuatiile :
An = A1 + (n-1)*r X = 1 + (n-1)*6 X = 6*n –5 Sn = (A1 + An)*n/2 = 280 (A1 + X)*n/2 = 280 => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280 6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0 D = 3364 => n1 = 10 ; n2 = -28 (nu convine) =>X = 6*10 -5 = 55
An = A1 + (n-1)*r X + 28 = X + 1 + (n-1)*3 27 = (n-1)*3 => n = 10 S10 = (A1 + A10)*10/2 = 155 => 2*X + 29 = 31 => X = 1 20(pag.73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica. S1 = A1 S2 = A1 + A2 S3 = A1 + A2 + A3 … Sn-1 = A1 + A2 + … + An-1 Sn = A1 + A2 + … + An-1 + An A1 = S1 = 4 A2 = S2 - S1 = 1 A3 = S3 - S2 = 3 A4 = S4 - S3 = 5 2*A2 = A1 + A3 => 2 = 3 + 4 (F) =>Sirul nu este o progresie aritmetica
1.DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE Fie un sir (Bn) n>=1 , B1<>0 Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q >0, numit ratie. Bn = Bn-1 *q 2.NOTATIE : :-: (Bn) n>=1 3.PROPRIETATI P1: Daca avem “ n ” termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere de cati termeni sunt inaintea lui.
Bn = B1 *q(la puterea n-1) P2: Daca B1, B2, … , Bn sunt “ n “ termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor. B1*Bn = B2*Bn-1 = … = Bi*Bn-i+1 P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi. Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1 R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica. P4: Suma primilor “ n “ termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este :
Sn = B1 * q(la puterea n)-1/q-1 4.APLICATII
26(pag.73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca :
B2 = B1*q = 12 B3 = B2*q = 24 B4 = B3*q = 48 B5 = B4*q = 96 b) B2 = -10 , q = 1/2 B1 = B2/q = -20 B3 = B2*q = -5 B4 = B3*q = -5/2 B5 = B4*q = -5/4 27(pag.73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn) , data astfel :
36 = 24*q => q = 36/24 = 3/2 24 = Y2*q => 24 = Y2*3/2 => Y2 = 24*2/3 = 16 16 = Y1*q => 16 = Y1*3/2 => Y1 = 32/3
-135 = 225*q => q = -135/225 = -9/17 225 = Y2*q => 225 = Y2*-9/17 => Y2 = -425 -425 = Y1*-9/17 => Y1 = 7225/9 28(pag.784). Daca se cunosc doi termeni ai unei progresii geometrice (Bn) :
B3 = B1*q(la puterea 2) B5 = B1*q(la puterea 4) => 6/24 = q(la puterea -2) => q = 2 B3 = B1*q(la puterea 2) => B1 = 3/2 => B7 = B1*q(la puterea 6) = 3/2*64 = 96 => B9 = B1*q(la puterea 8) = 3/2*256 = 384 =>B10 = B1*q(la puterea 9) = 3/2*512 = 768
30(pag.74). Sa se scrie formula termenului al n-lea al progresiei geometrice date prin :
Bn+1 = 3*Bn
Bn = B1*q(la puterea n-1) = 2*q(la puterea n-1) Bn+1 = Bn*q => 3*Bn = Bn*q => q = 3
Sn = 1*(1- X¹º¹)/(1- X)
=> 1- X¹º¹ = 0 => X¹º¹ = 1 => X¹º¹ = cos0 +i*sin0 => Xk = ¹º¹¶cos0 + i*sin0 = cos2k_/101 + i*sin2k_/101 k=0 => X=1 (nu convine) k=1 => X=cos2_/101 + i*sin2_/101 … k=100 => X=cos200_/101 + i*sin200_/101
S3= B1*(q³-1)/(q-1) S6= B1*(q -1)/(q-1) => S3/S6= (q³-1)/(q -1)= 2/3 => 3*q³-3 = 2*q -2 => 2*q +3*q³-1= 0 Notam: q³ = y => 2*y²-3*y+1= 0 Δ= 1 => y1=2, y2=1 => q³=1 => q=1(nu convine) => q³=2 => q=³¶2 => S3= B1*(q³-1)/(q-1)= 40 => B1=40(³¶2 -1) =>S9= B1*(q –1)/(q-1) = 280
(b+x)² = (a+x)*(c+x) b² + 2bx + x² = ac +ax +cx +x² b²-ac = x( a+c-2b) => x =(b²-ac)/(a+c-2b)
A4 + A1=7/16 A3- A2 + A1=7/8
A1*q³ + A1=7/16 => A1(q³ + 1)=7/16 A1*q² -A1*q +A1=7/8 => A1(q² -q +1)=7/8 => (q³+1)/(q² -q +1)=1/2 => q+1=1/2 => q= -1/2 => A1(-1/8 +1) =7/16 => A1= 1/2 |
