REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE

1. Daca numarul de ecuatii = numarul de necunoscute = rangul matricei sistemului = n , adica detA …….

(exemplu : sistem cu 3 ecuatii , 3 necunoscute si rang A = …… ) , atunci sistemul este …………………... solutia sistemului este ………. si pentru rezolvarea sa se aplica REGULA LUI ………

iar solutiile sale sunt date de FORMULELE LUI ………….. :

, , …… , unde , , ……… , se obtin din …………………………….. prin …………………………………………………………………………………………………………. 39375kig43ugx9f

2. In studiul compatibilitatii unui sistem OARECARE de ecuatii liniare se folosesc

urmatoarele 2 teoreme :

TEOREMA LUI KRONECKER – CAPELLI : …………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………. ig375k9343uggx

TEOREMA LUI ROUCHE : ……………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. Daca rang A = r < n , unde n este numarul de necunoscute si sistemul este compatibil ,

vom avea r necunoscute …………………… si ………. necunoscute …………………………

Necunoscutele secundare le vom nota cu ……………………. , iar necunoscutele principale

se vor exprima in functie de necunoscutele secundare .

Un sistem compatibil cu - 1 necunoscuta secundara se numeste …………………………………. ,

- 2 necunoscute secundare se numeste …………………………………. ,

- 3 necunoscute secundare se numeste …………………………………. ,

analog pentru celelalte situatii . Un sistem compatibil cu una sau mai multe necunoscute secundare

are …………………………. de solutii .

4. ALGORITM DE REZOLVARE A UNUI SISTEM DE ECUATII LINIARE OARECARE :

I ) Studiem daca sistemul este compatibil : scriem matricea A a sistemului si calculam

rang A , afland astfel si ………………………………………..

II ) Prin bordarea minorului principal ( numit si ………………………………..) cu ……………………..

………………………… , obtinem ……………………………( numit si …………………………………..)

Calculam minorul (minorii ) caracteristic ( caracteristici )

si obtinem urmatoarele 2 situatii , conform TEOREMEI LUI …………. :

1 ) ……………………………………………………………………………………………………………………

2 ) …………………………………………………………………………………………………………………….

III ) Daca sistemul este COMPATIBIL , procedam astfel :

1 ) Selectam dintre ecuatiile sistemului acele ecuatii care «  se sprijina «  pe minorul principal .

In aceste ecuatii , pastram in membrul stang necunoscutele principale si …………………………

…………………………………….. pe care le notam cu …………………………………………………

2 ) Rezolvam sistemul astfel obtinut cu REGULA LUI ………….. sau cu metodele

invatate in clasele de gimnaziu .

5 . SISTEME DE ECUATII OMOGENE

Forma generala a unui sistem liniar omogen cu m ecuatii si n necunoscute este :

- obs. ca intr – un sistem liniar omogen , toti termenii liberi sunt …..

Un sistem liniar omogen este compatibil ……………… , el avand mereu solutia …………………………. numita solutia nula ( banala sau triviala ) .

Daca presupunem m = n , atunci :

sistemul este compatibil determinat ( are solutie unica ) daca si numai daca …………………………..

sistemul este compatibil nedeterminat ( are o infinitate de solutii ) daca si numai daca ………………