Rangul unei matrice

Se considera o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe.

Iar k un numar natural, astfel incat 1<k<min (m, n), (prin min (m, n) intelegem cel mai mic dintre numerele m si n)

Daca in A se aleg k linii i₁ i₂ . , i _k si k coloane j₁ j₂ . , j _k ,elementele care se gasesc la intersectia acelor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k:

al carei determinant se numeste minor de ordin k al matricei A

Se observa ca din matricea A se pot obtine C_m^k C_n^k minori de ordin k ai matricei.

Se considea A=O_m,n o matrice cu m linii si n coloane. Cum matricea A elemente nenule, exista minori nenuli de un anumit ordin k>1. Dar multimea minorilor matricei A fiind finita este evident ca exista un numar natural r, 1<r<min (m, n), astfel incat sa avem cel putin un minor de ordin r nenul, iar toti minorii de ordin mai mare decat r (daca exista) sa fie nuli.

Definitie: Fie AIM_m,n(C) o matrice nenula. Spunem ca matricea A are rangul r, si scriem rangA =r, daca A are un minor nenul de ordin r, iar toti minorii lui A de ordin mai mare decat r (daca exista) sunt nuli.

Daca A este matricea nula ,atunci matricea are rangul 0, adica rang (O_m,n)=0

Teorema 1 :Fie A= O_m,n o matrice. Numarul natural r este rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordinul r a lui A, nenul ,iar toti minorii de ordinul r+1 (daca exista) sunt nuli.

Demonstratie

"T" Daca r este rangul matricei A ,atunci toti minorii de ordin mai mare decat r sunt nuli; deci si cei de ordin r+1 sunt nuli.

"<=" Daca tori minorii de un anumit ordin k ai matricei A sunt nuli, atunci sunt nuli si minorii de ordin k+1 ai matricei. Dezvoltand un minor de ordin k+1 dupa elementele unei linii (sau a unei coloane), obtinem o suma de prodduse, in fiecare produs fiind ca factor un minor de ordinul k al matricei. Acestia fiind nuli rezulta ca suma este nula, adica minorul de ordin k+1 este nul.

Teorema 2: Fie AIM_m,n(C)si BIM_n,s(C) doua matrice. Atunci orice minor de ordin k, 1<k<min (m,s) ,al produsului de matrice AB se poate scrie ca o combinatie liniara de minori de ordin k ai matricei A (sau ca o combinatie liniara de minori de ordin k ai matricei B)

Demonstratie

Consecinta:Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul

fiecarei matrice.

Demonstratie: Fie A si B doua matrice astfel incat sa putem efectua produsul AB si se presupune ca toti minorii de ordin K ai lui A (sau ai lui B) sunt nuli. Conform teoremei precedente rezulta ca minorii de ordin k ai matricei AB, care sunt combininatii liniare de ordin k ai matricei A (sau a matricei B) sunt , de asemenea, nuli. Dupa definitia rangului unei matrice:

Trang (AB)<rang A

rang(AB)<rang(B)

Obesrvatie: Nu exista o relatie bine determinata intre rangurile factorilor si rangul

produsului de matrice