Adunarea vectorilor, Inmultirea unui vector cu un scalar, Vectori si operatii referat





 

Vectori si operatii

 

 

 

 

1. Adunarea vectorilor

B

S



O

A

u + v

v

u

  • Fie u si v doi vectori in plan de directii diferite . Fie O un punct in plan . Construim OA=u si OB=v . Fie S un al patrulea varf opus lui O al paralelogramului cu trei varfuri in O,A si B .

 

 

 

 

 

 

OS = u + v ( regula paralelogramului )

1) Daca u si v sunt doi vectori de aceeasi directie si acelasi sens atunci u+v este vectorul de aceeasi directie si sens si de lungime | u |+| v | .

2) Daca u si v au aceeasi directie si sensuri opuse atunci daca | u |>| v | vectorul u+v are aceeasi directie cu vectorii u si v , are sensul vectorului u si lungimea | u |-| v | .

3) Daca u si v au aceeasi directie , sensuri opuse si | u |<| v | atunci u+v este vectorul de aceeasi directie cu sensul vectorului v si cu lungimea | v | - | u | .

  • Se stie ca intr-un Δ , AC < AB + BC si atunci | u+v | < | u | + | v | .

  • Cand A,B,C sunt colineare si vectorii AB si BC au acelasi sens atunci | u+v | = | u | + | v | . Deci in general | u+v | ≤ | u | + | v | pentru orice 2 vectori u si v egalitatea avand loc numai daca u si v sunt coliniari si au acelasi sens .

  • Proprietetile adunarii :

  • (u+v) +w = u+ (v+w) – asociativitate ;

  • u+v = v+u – comutativitate ;

  • exista 0 , a.i. oricare ar fi v , v+0 = 0+v = v – element neutru ;

  • oricare ar fi vectorul v exista (–v) a.i v+(-v)=(-v)+v=0 – element sincretic ;

  • (- v) = opusul lui v , are aceeasi directie , lungime dar sensul e opus .

    • | u | + | v | = √(u²+v²+2uv*cos α) ;

     

    2. Inmultirea unui vector cu un scalar

     

    • Fie α care apartine lui R , v- vector => αv se obtine din v astfel :

      1. pentru α>0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , acelasi sens si lungimea = α|v| ;

      2. pentru α<0 vectorul αv are aceeasi directie cu v , sens opus acestuia si lungimea |α|*|v| ;

      3. pentru α=0 => 0*v = 0 ;

     

     

    • Proprietatile inmultirii unui vector cu un scalar :

    Fie α , β apartin lui R , u,v = 2 vectori ;

    1. α( βv ) = ( αβ )v ;

    2. α( v+u ) = αv + αu ;

    3. 1* (v) = v ;

    4. 0* (v) = 0 ;

    5. α 0 = 0 ;

    - Daca α=-1 vectorul (-v) se numeste opusul vectorului v si se obtine din acesta pastrandu-i directia si modulul , dar schimbandu-i sensul .

    Teorema : 2 vectori nenuli sunt paraleli ( sau coliniari ) daca unul se obtine din celalalt prin inmultire cu un scalar nenul .

    u,v ≠ 0

    u || v <=> exista α apartinand lui R a.i. u = αv ;

    A

    C'

    A'

    B'

    C

    B

    • Daca A',B',C', sunt mijloacele laturilor Δ ABC atunci AA'+BB'+CC'=0

     

     

     

     

     

     

     

    • Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele a doua laturi este egal cu semisuma bazelor ( EF=1/2(AB+DC));

    -Daca in rel. demonstrata trecem la norme ||EF||=1/2 (||AB|+|DC||)≤1/2(||AB||+||DC||);

    -Egalitatea are loc<=> vectorii AB si CD sunt coliniari si de acelasi sens <=> AB || DC <=> ABCD – trapez ;

    -In general FE ≤1/2(AB+DC) – intr-un patrulater ;

    D

    E

    A

    F

    B

    C

    -Egalitatea are loc in trapez .

     

     

     

     

     

     

    • Intr-un patrulater segmentul ce uneste mijloacele celor doua diagonale este egal cu semidiferenta bazelor ( MN=1/2(BC-AD));

    A

    D

    M

    N

     

    B

    C

     

    • Intr-un Δ ABC , M apartine BC a.i. MB/MC=k => AM=1/(k+1)AB-k/(k+1)AC ;

    - Caz particular MB=MC => mediana AM=1/2(AB+AC) ;

    • Fie G = c.g. Δ ABC , M – un punct in plan , atunci MA+MB+MC=3MG ;

    • Fie H= ortocentrul Δ inscris in C(O,r) , atunci HA+HB+HC=2HO ;

    H,G,O-coliniare si OH=3OG ;

    - Dreapta care contine aceste trei puncte ( c.c.circumscris – O , centrul de greutate – G si ortocentrul – H ) se numeste dreapta lui Euler .

    A

    M

    N

    A'

    B

    C

    G

    • Intr-un Δ , G=c.g. , M apartine lui AB , N apartine lui AC , si MN trece prin G => MB/MA + NC/NA =1 .

     

    Teorema lui Menelaus si a lui Ceva

     

     

     

     

    1.Teorema lui Menelaus

    A

    C'

    B'

    C

    A'

    B

     

     

     

     

     

     

     

    • O dreapta d care nu trece prin nici un varf al Δ ABC intersecteaza dreptele suport ale laturilor Δ ABC in punctele A',B',C' . Atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 .

    • Reciproca : Daca A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB si daca A',B',C' sunt situate doua pe laturi si unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile laturilor si daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 atunci punctele A',B',C' sunt coliniare .

     

     

     

    2. Teorema lui Ceva

    A

    K

    B'

    C'

    B



    A'

    C

     

     

     

     

     

     

     

    • Se da Δ ABC si dreptele concurente AA',BB',CC' ≠ laturi atunci A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 .

    • Reciproca : Se da Δ ABC , A' apartine lui BC , B' apartine lui CA , C' apartine lui AB ≠ varfuri , situate pe laturi sau un punct pe o latura si doua pe prelungirile laturilor . Daca A'B/A'C*B'C/B'A*C'A/C'B=1 => dreptele AA' , BB' , CC' sunt concurente .

     

    OBSERVATIE !

    1. Dreptele concurente A'A , B'B , C'C se numesc ceviene .

    2. Reciproca Teoremei lui Ceva este utila in rezolvarea problemelor de concurenta .

     

    Geometria analitica a dreptei

     

    O

    B

    A

    xA

    xB

    yA

    P

    x

    y

    yB

    1. Geometria analitica a dreptei – distanta dintre doua puncte

    AB=√[(xA-xB)²+(yA-yB)²]

     

    2. Elemente de geometrie analitica

    • Se numeste versor al dreptei d un vector de lungime 1 , care are directia dreptei d . Daca A apartine lui d ii asociem un numar real , unic x , numit coordonata sa . Atunci OA=x*i . Daca x>0 atunci A este in sensul pozitiv al axei Ox . Daca x<0 atunci A este in sensul negativ al axei Ox .

    • Fie xOy un sistem de axe ortogonale . Fie i si j versorii axelor . Fie u un vector in plan . Orice vector u poate fi scris in mod unic u=xi+yj ;

    x

    O

    y

    B

    A

    u

    i

    j

    M

    • AB = (xB-xA)i + (yB-yA)j ;

    x

    O

    y

    B

    A

    3. Modulul uni vector

    • u = xi + yj => |u| = √(x²+y²)

    • |AB|=||AB||=AB

    x

    O

    y

    B

    M

    u

    A

    |u|=||u||=u

    4. Suma a doi vectori

     

    • u=x1i+y1j

    v=x2i+y2j

    • u+v = (x1+x2)i+(y1+y2)j

     

    5. Conditia de paralelism

     

    • u||v <=> x1/x2=y1/y2 , pt. x2,y2 ≠0

     

    6. Conditia de coliniaritate a 3 puncte

     

    • A,B,C – coliniare <=> AB||AC => (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1)

    7. Conditia de perpendicularitate

     

    • u┴v <=> x1*x2+y1*y2 = 0

     

    8. Coordonatele mijlocului unui segment

     

    • xM=(xA+xB)/2

    yM=(yA+yB)/2

     

    9. Coordonatele centrului de greutate al unui Δ

     

    • xG=(xA+xB+xC)/3

    yG=(yA+yB+yC)/3

     

    10. Ecuatia dreptei in plan

     

    • Graficul functiei de gradul I , f : RR , f(x) = ax + b , cu a≠0 este o dreapta formata din punctele de coordonatele (x,y) unde y=ax+b . Orice dreapta este bine determinata de doua puncte distincte ale sale .

    - Daca a=0 , dreapta de ecuatie y=b este orizontala dusa prin b ;

    - Daca a≠0 dreapta de ecuatie y=ax+b este oblica ;

    - Mai exista dreapta verticala de ecuatie x=c .

    11. Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat si are o directie data

     

    • Ecuatia dreptei care trece printr-un punct A(x0,y0) si are directia vectorului u=pi+qj este (x-x0)/p=(y-y0)/q , p,q ≠0

    • Daca p=0 => u=qj => d||Oy si dreapta este verticala cu ecuatia x=x0

    • Daca q=0 => u=pi => d||Ox si dreapta este orizontala cu ecuatia y=y0

    12. Coeficientul unghiular . Panta unei drepte .

    A a

    B

    O

    x

    y

    d

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    • Fie d o dreapta in sistemul de axe xOy . Unghiul α format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox se numeste coeficientul unghiular al dreptei d .

    • Dreapta d:y=mx+n are panta m=tg.α , unde α = unghiul format de dreapta d cu sensul pozitiv al axei Ox .

    • Ecuatia dreptei care trece printr-un punct dat A(x0,y0) si are panta data m , este y--y0=m(x-x0).

    13. Conditia de paralelism a doua drepte

     

    • d1 : y=m1x+n1

    d2 : y=m2x+n2

    d1||d2

    d1||d2 <=> m1=m2 ( au aceeasi panta )

     

     

    14. Conditia de perpendicularitate a doua drepte

     

    • d1 : y1=m1x+n1

    d2 : y2=m2x+n2

    d1┴d2 <=> m1*m2 = -1

    15. Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date

     

    • Ecuatia dreptei care trece prin 2 puncte date A,B = AB : (y-yA)/(yB-yA)=(x- -xA)/(xB-xA)

     

    CONCLUZIE : Ecuatia generala a dreptei d : ax+by+c=0 unde a²+b²≠0 .

    -8-









Copyright © Contact | Trimite referat