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REZOLVAREA PROBLEMELOR TIP PRIM METODA FIGURATIVA GRAFICA APLICATII



REZOLVAREA  PROBLEMELOR-TIP

Prin  problema  tipica  intelegem  acea  constructie  matema- tica  a carei  rezolvare  se  realizeaza  pe  baza  unui  anumit  algoritm specific  fiecarui  tip. O  asemenea problema  se considera  teoretic  rezolvata  in  momentul in  care  i-am  stabilit  tipul  si suntem  in  posesia  algoritmului  de  rezolvare.

IV.3.1Probleme  care se rezolva prin

metoda figurativa(metoda  grafica)

                  Metoda  figurativa  este  o  metoda  ce  consta  in  reprezen ta- rea  printr-o  figura  a marimilor  necunoscute  si  fixarea  in  acest  desen a  relatiilor   intre  ele si  marimile  date  in  problema.

                  Figura reprezinta o schematizare a enuntului, pentru a se pastra  in  atentie  relatiile  matematice  si  nu  toate  aspectele  concret. Rezolvitorul de  probleme  de  aritmetica  simte  nevoia sa-si« apropie » datele problemei, precum si relatiile  dintre acestea din  textul  enuntului. Pentru  aceasta  realizeaza un desen, o figura,  un  model, care  sa oglindeasca datele problemei.Daca  rezolvitorul este  « la  inceput de  drum » desenul  sau  este  cat  mai  detaliat, iar pe  masura  ce  el isi formeaza unele priceperi si deprinderi, figura devine cat mai abstracta,  cat mai schematica, ea « prinzand » in cadrul modelului numai esentialul.      

                

  Problemele care se  rezolva prin  metoda figurativa le   putem imparti  in  doua  mari  categorii  si  anume :

                    A.Cu date sau marimi « discrete » intelegand  prin aceasta ca  marimile pot fi numarate cate una si ca se pot  pune in corespondenta  dupa  anumite  criterii. In  acest  caz  marimile le “figuram”  prin simboluri.

                    B.Cu  date sau marimi « continui »,caz  in care, le     figuram

prin  segmente.

APLICATII

              Problema 1.Daca  se  asaza  cate  un  elev  intr-o  banca  raman 14 elevi in  picioare. Daca asezam cate 2 elevi  intr-o banca ra -man 3 banci  libere. Cati  elevi  si  cate  banci  sunt ?

                  Scriem  datele :

1elev.…………1banca……14elevi…2elevi……1banca…..3banci….   ……..?elevi…?banci.

              Observam ca datele problemei sunt marimi  carora  le-am zis « discrete »(banci si elevi),marim care se pot pune  in  coresponden- ta  dupa  criterii  desprinse  din  analiza  textului. Deci  din  analiza  primei parti  a  enuntului  desprindem  ca  multimea  elevilor  si  multi- mea  bancilor  pot  fi in  asa  fel « privite » incat  elementele lor  sa  fie organizate astfel: fiecarui elev  ii  corespunde o banca, situatie  in  care  14 elevi raman  in  picioare, deci  nu  au  loc.

               Figuram banca  cu  B si  elevul cu  e.   Asezam   cate  un   elev intr-o  banca. Obtinem  grupe de  forma :

               e      e      e      e      e…..e           14 elevi

               B     B     B     B     B….B

               Acum, legatura  cu partea  a doua  a  enuntului  s-ar face astfel :cei 14 elevi ce erau in picioare vor completa 14  banci pana  la  doi  elevi.

                                                                             

            

               e     e     e      e      e……e……e          e……….e

               B    B    B     B     B…B……B        B………B

                e     e     e     e      e……e…….e        

  

                                  14 B                                   nu stim cate

     

                  

                   Deoarece enuntul mentioneaza  ca  asezandu-i  cate doi  intr-o  banca  raman  3  banci  libere, inseamna  ca  din  aceste banci  s-au  mai  ridicat 3  elevi ( initial  fiecare  banca  avea  cate  un  elev ) care  au  completat ca  si  ceilalti  colegi ai  lor  inca trei banci  cu  doi  elevi.

                 e      e      e      e………e         e      e      e

                 B     B     B     B……B         B     B     B       B     B     B

                 e      e      e      e………e         e      e      e


                                14 B                               3 B                       3 B

               Sa  recapitulam  deci : avem 14 banci cu cate  doi  elevi  com-

pletate de  cei 14 elevi  ce  erau  in picioare  si  inca  3 banci  cu  doi elevi  completate  astfel  prin  ridicarea  din  3 banci  care  trebuie  sa ramana  libere  si,  in  fine,  raman  3 banci  libere.

               Deci  in  acea  clasa  erau :

                14+3+3=20 (banci)

              Aflarea  numarului  de  elevi, in  continuare, nu  mai  constituie  o  greutate. Il  putem  afla  din  prima  parte  a  enuntului :

           20+14=34 (elevi)

                                

                                                Raspuns :20 de banci si 34 de elev

                 

  Problema 2.Intr-o  curte  alearga  gaini  si  purcei.In  total  sunt  40  de capete  si  100  de  picioare. Cate  gaini  si  cati  purcei  erau ?

                 Comentand  enuntul, la  prima  vedere  s-ar  parea  ca  acesta este  incomplet  deoarec  nu  se  expliciteaza  cate  picioare  are o  gaina si cate picioare are un  purcel.

Dar, in mod  normal, aceste  date se subinteleg ( toata  lumea  stie ca  o  gaina  are 2  picioare  si  un  purcel are4 piciore).

                  Sa  figuram  cele  40  de  vietati  prin  niste  ovale.

                                                                                         

                                                                              

                                              …………     


                                    40

                Acum  le  desenam  picioarele. Dar  unde  asezam 2  picioare si  unde  4 ?Observam  ca  oricum doua  picioare  are fiecare  vietate  sile  desenam.Figura  apare  astfel :


                                              …………                                              

                                              

                                               

                                     40

               Am  « folosit » 40*2=80 (picioare)  si  ne-au  mai  ramas :

                 100-80=20 (picioare).

               Acum  asezam  picioarele  ramase  cate  doua  la fiecare vie- tate care are deja cate doua picioare. Formam astfel “purcei”.  Asezam

doua  picioare la prima, doua  picioare la  adoua  vietate si asa  mai departe pana  terminam  cele  20  picioare ramase. Gasim  astfel,  numarul   de  purcei.

     


                                            ………………..                  

                                                                                                                     

   

                              10 purcei

             

 

                                                            

                                      ……….

                                                                                                                                       

   

                                      30 gaini

   Deci  numarul de purcei  este  20 :2=10 (purcei).Restul  de vietati  ramase  cu  doua  picioare sunt  gaini :40-10=30 (gaini)

 Raspuns:in  curte erau 10 purcei si30 gaini

Se  va  realiza  proba :

                          10*4+30*2=100 (picioare)

                                                                                                                                      In continuare vom rezolva probleme  tot prin metoda figurativa cu marimi e se preteaza a fi  ilustrate prin segmente.

     Problema 3.Un tractor  pleaca  pe sosea  de la  kilometrul 0, mergand cu aceeasi  viteza. Dupa  2 ore  de mers,  nu  ajunsese  la  canton ; mai  avea pana  acolo  14 kilometri. Dupa  5 ore  de  mers  trecuse  de  acel  canton cu  25 de  kilometri.

                La  ce  kilometru  era  situat  cantonul ?

               Din  analiza  enuntului  trebuie  sa  retinem  o  informatie  esentiala  si  anume  aceea  ca  tractorul  se  deplasa  cu  o viteza  constanta.Constatarea ne sugereaza  realizarea  unei  figuri  in  care distantele parcurse  in  fiecare  ora  sa  le  putem  desena  prin  seg- mente  egale, puse cap  la  cap.Figuram  mai  intai  soseaua  pe  care  ne-o  imaginam  rectilinie.

                        0


                 Prin  sageata  indicam  sensul  de  deplasare. Punctul 0  sa  fie kilometrul 0(zero) de unde incepe  deplasarea  tractorului.Nu  stim  unde trebuie  plasat  cantonul. Problema  ne  spune  ca  dupa  2 ore  de  mers,tractorul  nu  ajunsese la  canton.

             

   Convenind ca spatiul parcurs intr-o  ora  sa-l  figuram    prin

 segmentul                       ,asezam doua  asemenea segmente cap la cap incepand cu punctul 0. Figura devine :

      

                                                    14 Km


            O               A                C                                                       B

                

                   Deci  dupa 2 ore tractorul ajunge la punctul  A. Cantonul va fi  situat la  dreapta  lui  A  si  il materializam prin punctul C, iar pozitia tractorului dupa 5 ore de la plecare in punctul B.                  

                    Acum  observam  pe grafic ca  distanta  de la  A la C este de 14 km, iar distanta de la C la B este de 25 kilometri. Graficul arata astfel :                    

                                       dupa 2 h

            O                                    A                        C                                     B                  


                                                   14 km                   25 km              


                  Rezolvarea  problemei apare din  citirea  graficului.

 1.In cate  ore  parcurge  tractorul distanta  AB ?

                                               5-2=3 (ore)

2.Ce  distanta  parcurge  tractorul  in  acest  timp ?

                                              14+25=39 (kilometri)

3.Care  este viteza  tractorului ?

                                              39 :3=13 (kilom

4.Ce  distanta  parcurge  tractorul  in  2 ore ?

                                              13*2=26 (kilome

5.La  ce kilometru  era  situat  cantonul ?

                                              26+14=40 (kilometri)

                                   Raspuns :viteza tractorului era de 13 km/h

iar  tractorul se  afla  la  distanta  de 40 kilometri.

            

Probleme  de  aflare  a  numerelor  cunoscand suma  si  diferenta  lor

                   Problemele de  aflare a  numerelor cand  se cunoaste sumasi diferenta  lor,se  rezolva  prin  metoda  figurativa.

         Exemplu

             Problema.  Aflati  doua  numere  daca:  suma  lor  este 840,  iar  diferenta460.

Rezolvare:

              Vom  reprezenta  cele  doua  marimi  care  intervin  in  problema  prin  doua  segmente.

 


                           460                             840

          

              Diferenta   dintre  lungimile  celor  doua   segmente   este  chiar

diferenta  dintre  cele  doua  numere, iar  suma  celor  doua  numere este reprezentata de doua  segmente  de aceeasi  lungime  si  inca  un  segment ce  reprezinta  tocmai  diferenta  de 460. Atunci putem determina numarul  mai  mic  astfel:

                         (840-460) :2=190,iar  numarul  mare  va  fi:

                          190+460=650

Raspuns :numarul  mic este 190 iar numarul mare este 650.

                                     

   

Probleme  de  aflare  a  doua  numere  cunoscand

 suma   sau  diferenta  lor  si  raportul  lor

          

                     Prin  raportul  a  doua  numere, in  ipoteza  ca  ele  se  impart  exact, intelegem  catul  lor. Acesta (catul)  ne  arata  de cate ori  un  numar este mai mare  decat  celalalt. Problemele  de  aflare a  doua  numere cand  cunoscand  suma  sau  diferenta  lor  si  raportul  lor, se  rezolva  tot  prin  metoda  figurativa.

                           

 Sa  analizam  problema  urmatoare :

                

                             Problema.  Aflati  doua  numere daca  suma  lor  este  480, iar  unul  dintre  ele  este  de  cinci  ori  mai  mare  decat   celalalt.

Rezolvare :

                   Figura  acestei  probleme  este  asemanatoare  cu  cea  de  la  problema  precedenta, cu  observatia  ca  segmentul  mai  mare  este  format  din  5 segmente  mici, care  reprezinta  numarul  mic,  iar  suma  celor doua  numere  este practic  reprezentata  de  6 segmente  reprezentand numarul  mic.


                                                                       

                                                            480


 Pentru  a  afla  numarul  mic  vom  efectua :

                480 :6=80

                                                                                      fie  480-80=400

 Numarul  mare  poate  fi  aflat :

                                                                                       fie 5*80=400

        Raspuns:numarul  mic  este 80  iar  numarul  mare  este 400


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