INTEGRALE DEFINITE

SUME RIEMANN

Definitie: Se da colectia de obiecte:

• [a,b] – interval inchis 56922sme39gjs7k

• D– diviziune a intervalului [a,b]

D = (a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b)

• f:[a,b]®R

• x_I – un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul [a,b] mj922s6539gjjs

x_I I [x_i-1,x_i]

Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii D si sistemului de puncte intermedi-are x_I numarul notat:

n

s_D(f,x_i) = S f(x_i)*(x_i-x_i-1)

i=1

INTEGRALE IN SENS RIEMANN

Definitie: Se da f:[a,b]®R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca $ i_f I R a.i. " e>0,$ h_e>0 cu proprietatea ca " D o diviziune a intervalului [a,b] si (x_i) un sistem de puncte intermediare, x_i I [x_i-1,x_i] cu ||D||<h_e sa avem |s_D(f,x_i) – i_f |<e.

i_f – se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a,b]

b

notez: i_f = ò f(x)*dx.

a

b

Obs:

1) Numarul real i_f este unic; ò f(x)*dx este unica.

a

Demonstratie:

P.p.a. ca $ i₁¹i₂ care verifica conditiile din definitie, atunci pentru " e>0 $ h_k,e>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune:

D=(x₀,x₁,…,x_n) a lui [a,b] cu ||D|| < h_e si orice puncte intermediare x_i-1 £ x_i £ x_i (1 £ i £ n) sa avem:

|s_D(f,x)-i_k|<e/2 (k=1,2).

Luand h_e = min(h_1,e , h_2,e) rezulta ca pentru orice diviziune D a lui [a,b] cu ||D||<h_e si orice sistem (x_i) de puncte intermediare asociat lui D, avem:

|s_D(f,x)-i₁| < e/2 si |s_D(f,x)-i₂| < e/2,

deci: |i₁– i₂| < |i₁– s_D(f,x)| + |s_D(f,x)-i₂| < e/2+e/2 = e.

Cum e > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i₁=i₂; dar din ipoteza i₁¹i₂ Þ contradictie.

Deci i_f este unic.

2) f:[a,b]®R

f – integrabila in sens Riemann pe [a,b] Þ f marginita pe [a,b]

Demonstratie:

f – integrabila pe [a,b] Þ $ i_f I R a.i. " D o diviziune a lui [a,b] si " e>0, $ h_e>0 pentru care ||D||<h_e Þ |s_D(f,x_i) – i_f |<e " x_i un sistem de puncte intemediare.

Arat ca f este marginita pe [x_k-1,x_k]

ì x, i¹k

Fie x_i=í

ix_i, i=k

n n

s_D(f,x_i) = S f(x_i)*(x_i-x_i-1) = S f(x_i)*(x_i-x_i-1) + f(x)*(x_k-x_k-1)

i=1 i=1

i¹k

|s_D(f,x_i) – i_f | < e

–e < s_D(f,x_i) – i_f < e /+ i_f

–e + i_f < s_D(f,x_i) < e + i_f

n

–e + i_f < S f(x_i)*(x_i-x_i-1) + f(x)*(x_k-x_k-1) < e + i_f

i=1

i¹k

1/(x_k-x_k-1)*[ – e + i_f – S f(x_i)*(x_i-x_i-1)] < f(x) < 1/(x_k-x_k-1)*[ – e + i_f – S f(x_i)*(x_i-x_i-1)]

[_____________________________] [_____________________________]

M₁ M₂

M₁< f(x) < M₂

Þ f – marginita pe [x_k-1,x_k] " k I {1,2,…,n} Þ f – marginita pe [a,b]

3) f,g:[a,b]® R

AÌ[a,b]

A finita, cu proprietea:

1. g integrabila pe [a,b]

2. f(x)=g(x) "xI[a,b]\A

atunci: a) f – integrabila pe [a,b]

b b

b) ò g(x)*dx = ò f(x)*dx

a a

Demonstratie:

Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A={c}.

Functia g fiind integrabila, este marginita, deci $ M₁ ³ 0 astfel incat:

|g(x)| £ M₁ " xI[a,b]

Luand M = max( M₁, |f(c)| ) Þ f(x) £ M si g(x) £ M " xI[a,b].

g – integrabila Û " e > 0, $ h’_e > 0 a.i.:

b

1. | s_D(g,x_i) – ò g(x)*dx | < e/2

a

" D = (x₀, x₁,…,x_n), cu ||D|| < h’_e si " sistemul de puncte intermediare x_i.

Luand h_e = min (h’_e, e/(8*M) ), avem h_e £ h_e si 4*M*h_e £ e/2.

Daca c este un punct al diviziunii D, atunci $ 0 £ i £ n astfel incat c = x_j. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele x_j sau x_j+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) " x ¹ c, obtinem:

| s_D(g,x_i) – s_D(f,x_i) | = | S ( g(x_i) – f(x_i) )*( x_i – x_i-1 )| £ | g(x_j) – f(x_j)|*(x_j – x_j-1) + | g(x_j+1) – – f(x_j+1)|*(x_j+1 – x_j) £ 4*M*||D|| < 4*M*h_e < e/2

Daca c nu este punct al diviziunii D, atunci c este continut intr-un interval deschis

(x_k-1,x_k). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul x_k, prin urmare:

| s_D(g,x_i) – s_D(f,x_i) | = | S ( g(x_i) – f(x_i) )*( x_i – x_i-1 )| £ | g(x_k) – f(x_k)|*(x_k – x_k-1) £ 2*M*||D|| £ £ 2*M*h_e < e/2

Din analiza facuta pana acum rezulta ca:

2. | s_D(g,x_i) – s_D(f,x_i) | < e/2

Din 1) si 2) obtinem:

b

| s_D(f,x_i) – ò g(x)*dx | < e

a

b b

adica f este integrabila si: ò f(x)*dx = ò g(x)*dx.

a a

EXEMPLE:

1. f:[a,b]® R

f(x) = k

a

Þ f – integrabila si ò k*dx = k*(b-a)

b

$ i_f = k*(b-a) a.i. " e > 0 $ h_e > 0 cu proprietatea ca " D= (x₀=a<x₁<…<x_n=b) si

" x_i I[x_i-1,x_i], ||D||<h_e Þ |s_D(f,x_i) – i_f |<e

s_D(f,x_i) = S f(x_i)*(x_i–x_i-1) = S k(x_i–x_i-1) = k*S (x_i–x_i-1) = k(x₁–x₀+x₂–x₁+…+x_n–x_n-1) =

= k*(x_n – x₀) = k*(b-a)

|s_D(f,x_i) – i_f | = |k*(b-a) – k*(b-a)| = 0 < e " e>0.

2. f,g:[a,b]® R

ì 1, pentru xIQ ì-1, pentru xIQ

f(x) = í g(x) = í

i-1, pentru xIR\Q i 1, pentru xIR\Q

f,g – nu sunt integrabile

Demonstratie pentru f(x) :

Fie D= (a=x₀<x₁<…<x_n=b), avem:

ìS 1*(x_i – x_i-1) = b-a, pentru x_i I Q

s_D(f,x) = í

iS (-1)*(x_i – x_i-1) = a-b, pentru x_i I R\Q

Cum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor x_i, functia nu este integrabila.

Demonstratia se face analog pentru g(x).

Desi f,g nu sunt integrabile functiile:

(f+g)(x) = 0 "xI[a,b]

(f*g)(x) = -1 "xI[a,b]

(f^og)(x) = 1 "xI[a,b]

sunt integrabile ca fiind functii constante.

3. Sa se cerceteze integrabilitatea functiei:

ì 0, daca x este irational sau x = 0

G(x) = í

i 1/q, daca x = p/q, p/q fractie ireductibila

Rezolvare: Functia este integrabila pe segmentul [0,1]. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul [0,1] avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie acesta k. Fie D o diviziune arbi-trara a segmentului [0,1]. Exista cel mult 2k intervale partiale (pe care le notam d₁’,d₂’,…,d_2k’) care sa contina cele k puncte considerate anterior. Fiind dat e>0, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului e/2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d₁”, d₂”,… d_2m” celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele d_i^” (i = 1, 2, …, m) contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x = p/q, q>N, si astfel ca G(p/q) = =1/q<1/N. Deci :

2k m

S_d(G) – s_d(G) = S (M_i’ – m_i’)s_i’ + S (M_i” – m_i”)s_i”

i=1 i=1

Am notat cu M_i’, respectiv m_i’ marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul d_i’ si cu M_i”, respectiv m_i” marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul d_i”, s_i’ este lungimea lui d_i’, iar s_i” este lungimea lui d_i”.

Deoarece M_i’ – m_i’<1, m_i” = 0, M_i”<1/N, " i, avem

2k m

S_d(G) – s_d(G) < S s_i’ + (1/N)*S s_i” < e/2 + 1/N.

i=1 i=1

Daca N > 2/e, atunci 1/N < e/2 si S_d(G) – s_d(G) < e.

Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a

1

functiei este 0, avem s_d(G) = 0, " D; rezulta I = ò G(x)dx = 0. Datorita integrabilitatii functiei

0

G, avem :

1

òG(x)dx = 0.

0

Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila.