|
Sumerian, Egiptea, Babilonian, Sisteme de numeratieSumerian 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u Civilizatia Sumeriana a inflorit cu 4.000 ani i.C. in fertila campie dintre Tigru si Eufrat. Era o civilizatie avansata care construia orase si sisteme de irigatie, care a realizat un sistem legislativ, care avea un sistem administrativ performant si chiar un serviciu postal. Cu peste 3.500 ani i.C., sumerienii scriau pe tablite de lut. Obiecte diferite erau reprezentate prin simboluri diferite, iar numarul acestora era era prezentat prin repetitie. Prin anul 3.200 i.C. Sumerul este cucerit de akkadieni. Cele doua civilizatii isi unesc cunostintele in toate domeniile. Acest sistem avea doua mari inconveniente. In primul rand, pentru fiecare obiect trebuia sa existe un simbol caracteristic, simboluri care - evident - trebuia memorate. Al doilea inconvenient era legat de reprezentarea cantitatii. Pentru a reprezenta trei butoaie de ulei se repeta de trei ori simbolul acestuia. Dar daca numarul acestora este mai mare, scrierea nu mai este asa de simpla si poate conduce la erori. Dezvoltarea economica a impus crearea unui alt sistem de reprezentare. 12324beb79tbb6u Prima mare inovatie dupa inventarea scrisului a fost abstractizarea numarului de obiecte de acelasi fel. Astfel, trei butoaie cu ulei erau reprezentate prin simbolul pentru trei urmat de simbolul pentru butoi cu ulei. La fel se puteau reprezenta 3 oi, 3 vaci, in general 3 obiecte de acelasi fel. Un astfel de sistem este metrologic (asa cum scriem 3 12324beb79tbb6u kg, 3 12324beb79tbb6u h, 3 12324beb79tbb6u m). Astfel, simbolul pentru "trei" nu este in totalitate abstract, dar a reprezentat un salt urias in dezvoltarea reprezentarii numerelor si a calculului. Sumerienii foloseau 60 de simboluri numerice, dar nu pentru orice fel de numere. Astfel, aveau un set de simboluri (o tabla) pentru numararea obiectelor discrete (cum ar fi oi, butoaie etc.) si o alta tabla pentru calcularea ariilor sau volumelor. Pentru a numara obiectele discrete (de ex. oi, capre, pesti) simbolul pentru un singur obiect era un mic con. Zece conuri erau inlocuite printr-un cerc mic. Sase cercuri mici se inlocuiau printr-un con mare. Zece conuri mari erau reprezentate printr-un con mare cu un cerc mic in interior. Sase conuri mari se inlocuiau printr-un cerc mare. In fine, 10 cercuri mari erau reprezentate printr-un cerc mare in interiorul caruia era plasat un cerc mic. Astfel, ultima unitate numara 10 · 6 · 10 · 6 · 10 = 36.000 obiecte.
Scrierea pe tablitele de lut se putea face foarte usor: cercul era creat prin apasarea verticala a unui cui, conul prin aplicarea oblica a cuiului pe tablita. Sumerienii foloseau si un sistem bisexagesimal in care factorii de multiplicare erau 10, 6, 2, 10 si 6, astfel ca simbol pentru cantitatea cea mai mare (un cerc mare cu doua cercuri mici interioare) avea valoarea de 12324beb79tbb6u 6 12324beb79tbb6u · 12324beb79tbb6u 10 12324beb79tbb6u · 12324beb79tbb6u 2 12324beb79tbb6u · 12324beb79tbb6u 6 12324beb79tbb6u · 12324beb79tbb6u 10 = 7.200 unitati de baza. Un alt sistem era folosit pentru masurarea granelor. In acest sistem, factorii de multiplicare erau 5, 10, 3, si 10, astfel incat unitatea cea mai mare (un con mare cu un cerc mic in interior) avea valoarea de 12324beb79tbb6u 10 12324beb79tbb6u · 12324beb79tbb6u 3 12324beb79tbb6u · 12324beb79tbb6u 10 12324beb79tbb6u · 12324beb79tbb6u 5 12324beb79tbb6u = 12324beb79tbb6u 1.500 unitati de baza. Astfel, acelasi semn putea fi folosit in diferite sisteme, valoarea sa depinzand de sistemul respectiv. De exemplu, cercul mic putea insemna 6, 10 or 18 conuri mici. Treptat, in decursul mileniului 3 i.C., aceste semne au fost inlocuite de echivalentul lor cuneiform. Pe la sfarsitul mileniului 3 i.C. a fost introdus sistemul de numeratie sexagesimal pozitional. Numarul de simboluri a fost redus la doua: , derivat din conul mic, si derivat din cercul mic, care avea valoarea de 10 unitati de baza. Sistemul arata acum astfel:
si putea continua indefinit. Apare totusi un inconvenient: simbolul poate reprezenta 1, 60 (6 12324beb79tbb6u · 12324beb79tbb6u 10), 3.600 (60 12324beb79tbb6u · 12324beb79tbb6u 60) etc. unitati de baza, valoarea sa depinzand de pozitia pe care o ocupa. Sistemul sexagesimal pozitional a usurat foarte mult efectuarea calculelor, numai ca el era folosit exclusiv la efectuarea calculelor. Rezultatele obtinute erau apoi transformate in vechile sisteme metrologice. 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u Babilonian 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u Civilizatia babiloniana a inlocuit-o pe cea sumeriana incepand cu 2.000 i.C.. Babilonienii au mostenit cunostintele pe care le aveau sumerienii si akadienii. Desi au imprumutat scrierea numerelor si baza de numeratie de la acestia, sistemul de numeratie a evoluat devenind pozitional. Babilonienii stabilisera unitati de masura pentru lungime, masa si volum, timp (impartisera ziua in 24 de ore, ora in 60 de minute si minutul in 60 de secunde), creasera un calendar foloseau impartirea cercului in 360 de grade. Babilonienii aveau cunostinte astronomice avansate, putand sa prevada eclipsele de soare si de luna. Foloseau fractiile, patratul unui numar, radacina patrata. Au inventat 12324beb79tbb6u un sistem de scriere pozitional cu baza 60. Aveau un semn pentru unu 12324beb79tbb6u , care repetat dadea doi 12324beb79tbb6u , trei 12324beb79tbb6u si asa mai departe, pana la zece, pentru care exista un alt semn 12324beb79tbb6u . Combinand semnele reprezentand pe 12324beb79tbb6u unu si pe zece se obtin 11, 12, ..., 59. Pentru saizeci se folosea acelasi semn ca pentru unu, dar valoarea sa era data de coloana in care se gasea. Se putea continua avand posibilitatea reprezentarii oricarui numar.
Pentru a scrie numere mai mari decat 60, mesopotamienii foloseau aceste reprezentari in sensul actual de cifra.
Sistemul avea un inconvenient: deoarece nu exista reprezentare pentru cifra 0, mesopotamienii in locul acesteia lasau un loc liber. Dar nu totdeauna !. Astfel, nu este clar daca inseamna 2, 61, 3601 sau 3660. Totusi, in practica cifra 0 in sexagesimal apare destul de rar. Mai tarziu, cand astronomii au avut nevoie de foarte multe calcule, au introdus un semn special pentru a inlocui spatiul (cifra 0). Scrierea pozitionala permite reprezentarea usoara a fractiilor. Pentru separarea partii intregi de cea zecimala noi folosim virgula zecimala, anglo-saxonii punctul zecimal. Mesopotamienii nu foloseau nimic. Stabilirea faptului ca un numar este intreg sau zecimal se facea "prin inspectie". De exemplu, poate insemna 16.000 sau 1/81. Pentru unele fractii uzuale, mesopotamienii foloseau notatii speciale:
Fiind pozitional, sistemul este usor de folosit deoarece utilizeaza acelasi semn pe diferite locuri, valoarea sa intrinseca ramanand aceeasi, dar valoarea efectiva depinzand de pozitia pe care o ocupa. Nu au fost descoperite table pentru adunare sau scadere. Se presupune ca scribii invatau sa adune si sa scada odata cu invatarea cititului si scrisului, asa ca tablele pentru adunare si scadere nu-si aveau rostul. In schimb, exista o multime de table de multiplicare. Pe la 2.300 i.C. au inventat 12324beb79tbb6u abacul si au creat metode pentru adunarea, scadere, inmultire si impartire. Babilonienii au creat table pentru inmultire sub doua forme: table simple si table combinate. Tablele simple contin produsele unui singur numar, numit numar principal (de ex. 5, 10). Deoarece baza de numeratie este 60, s-ar parea ca tabla trebuia sa contina 58 de linii (de la 2 la 59). In realitate, tablele contineau liniile cu produsele de la 2 la 20, apoi cu 30, 40 si 50. Daca se dorea produsul cu 39 (de ex.) se adunau multiplul lui 30 cu multiplul lui 9. Uneori tablele se incheiau cu patratul numarului principal. Tablele combinate contin mai multe numere principale, fiind de fapt, formate din mai multe table simple (de ex. cu 12-30, cu 44-26-40). Aproape toate tablele care apar in table combinate se gasesc si separat, ca table simple. Pentru a putea calcula mai usor un produs foloseau formula: ab = [(a + b)2 – a2 – b2]/2 sau o formula chiar mai eficienta: ab = [(a + b)2 – (a – b)2]/4 A fost descoperita o tabla a patratelor numerelor pana la 59 si una a cuburilor pana la 32. Nu exista table pentru impartire, in schimb a fost creata o tabla de inverse. Inversul numarului n este fractia 1/n. In loc sa imparta un numar la n, babilonienii il inmulteau cu cu inversul lui n. Ca si in sistemul nostru de numeratie, si in sistemul babilonian existau fractii sexagesimale infinite. Evident, singurele inverse care erau fractii sexagesimale finite erau cele care nu contineau alti factori afara de puteri ale lui 2, 3 si 5. Mai exista si cateva table pentru radacina patrata si cubica. Exista si table pentru rezolvarea unor probleme financiare. In fine, au fost gasite si cateva table de conversie pentru unitati de masura. Exista o tabla de corespondenta intre lungimea diagonalei si latura patratului. Matematica babilonienilor se ocupa de lucruri practice, in special de calcule. Nu se punea problema unei demonstratii. Interesul pentru studiul geometriei era, de asemenea, minor. Desi foloseau constructii geometrice, problemele conduceau la calcule aritmetice. Problemele erau formulate cu date concrete, din viata de zi cu zi. Elevilor li se cerea sa afle lungimi de canale, masa unor stanci, aria unor terenuri, numarul de caramizi folosite intr-o constructie etc. De obicei se cerea aflarea lungimii laturii sau diagonalei unui patrat, determinarea ariei sau a volumului. Pe unele tablite erau desenate figuri geometrice standard cum ar 12324beb79tbb6u fi patrat, dreptunghi, triunghi, trapez, cerc etc. Studiul corpurilor geometrice era dominat de calcul de caramizi si planuri inclinate, dar apar si cilindri, trunchiuri de con si piramide. 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u Egiptean 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u 12324beb79tbb6u Egiptul a fost probabil prima civilizatie in care interesul pentru stiinte a fost major. Au excelat in medicina si matematici aplicate, dar si in astronomie, mecanica, chimie, fizica, administratie. Chiar numele de chimie provine de la alchimie, vechiul nume al Egiptului. Civilizatia Egiptului Antic a atins un inalt nivel inca din cele mai vechi timpuri. Datorita Nilului si climei, Egiptul avea tot ce-i necesar dezvoltarii unei civilizatii infloritoare. Egiptul era si usor de aparat avand o lunga granita cu desertul Sahara, asa ca s beneficiat de perioade lungi de pace, perioade in care societatea s-a dezvoltat rapid. Cu 3.000 de ani i.C., in Egipt era dezvoltata puternic agricultura pe baza inundatiilor bianuale ale Nilului. Apa revarsata aducea aluviuni care imbogateau solul; surplusul de apa era dirijat printr-un sistem complicat de canale si ecluze, astfel ca ea sa fie fo |
