integrale definite-sume Riemann referat





INTEGRALE DEFINITE


SUME RIEMANN


Definitie: Se da colectia de obiecte:



[a,b] - interval inchis

D- diviziune a intervalului [a,b]

D = (a=x0<x1<x2<.<xn=b)

f:[a,b] R

xI - un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul [a,b]

xI I [xi-1,xi]


Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii D si sistemului de puncte intermedi-are xI numarul notat:

n

sD(f,xi S f(xi)*(xi-xi-1)

i=1


INTEGRALE IN SENS RIEMANN


Definitie: Se da f:[a,b] R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca if I R a.i. e>0, he>0 cu proprietatea ca D o diviziune a intervalului [a,b] si (xi) un sistem de puncte intermediare, xi I [xi-1,xi] cu ||D||<he sa avem |sD(f,xi) - if |<e


if - se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a,b]

b

notez: if = f(x)*dx

a


b

Obs:

1) Numarul real if este unic; f(x)*dx este unica.

a

Demonstratie:

P.p.a. ca i1 i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru e>0 hk,e>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune:

D=(x0,x1,.,xn) a lui [a,b] cu ||D|| < he si orice puncte intermediare xi-1 xi xi (1 i n) sa avem:

sD(f,x)-ik|<e (k=1,2).


Luand he = min(h e h e) rezulta ca pentru orice diviziune D a lui [a,b] cu ||D||<he si orice sistem (xi) de puncte intermediare asociat lui D, avem:

sD(f,x)-i1| < e/2 si |sD(f,x)-i2| < e

deci:                            |i1- i2| < |i1- sD(f,x sD(f,x)-i2| < e e e


Cum e > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1 i2 T contradictie.

Deci if este unic.


2) f:[a,b] R

f - integrabila in sens Riemann pe [a,b] T f marginita pe [a,b]


Demonstratie:

f - integrabila pe [a,b] T if I R a.i. D o diviziune a lui [a,b] si e>0, he>0 pentru care ||D||<he T |sD(f,xi) - if |<e xi un sistem de puncte intemediare.


Arat ca f este marginita pe [xk-1,xk]

x, i k

Fie xi

ixi, i=k


n n

sD(f,xi S f(xi)*(xi-xi-1) = S f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1)

i=1 i=1

i k

sD(f,xi) - if | < e

-e < sD(f,xi) - if < e /+ if

e + if < sD(f,xi) < e + if


n

e + if < S f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) < e + if

i=1

i k


1/(xk-xk-1)*[ - e + if - S f(xi)*(xi-xi-1)] < f(x) < 1/(xk-xk-1)*[ - e + if - S f(xi)*(xi-xi-1)]

[

M1 M2

M1< f(x) < M2

T f - marginita pe [xk-1,xk]   k I T f - marginita pe [a,b]


3) f,g:[a,b] R

A [a,b]

A finita, cu proprietea:

i)            g integrabila pe [a,b]

ii)          f(x)=g(x) xI[a,b]A


atunci: a) f - integrabila pe [a,b]

b b

b) g(x)*dx = f(x)*dx

a a


Demonstratie:

Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A=.

Functia g fiind integrabila, este marginita, deci M1 0 astfel incat:

|g(x)| M1      xI[a,b]


Luand M = max( M1, |f(c)| )   T f(x) M si g(x) M       xI[a,b].

g - integrabila e > 0, h e > 0  a.i.:

b



sD(g,xi g(x)*dx | < e

a

D = (x0, x1,.,xn), cu ||D|| < h e si sistemul de puncte intermediare xi

Luand  he = min (h e e/(8*M) ), avem he he si 4*M*he e

Daca c este un punct al diviziunii D, atunci i n astfel incat c = xj. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele xj sau xj+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) x c, obtinem:


sD(g,xi sD(f,xi S ( g(xi) - f(xi) )*( xi - xi-1 )| | g(xj) - f(xj)|*(xj - xj-1) + | g(xj+1 - f(xj+1)|*(xj+1 - xj) 4*M*||D|| < 4*M*he < e


Daca c nu este punct al diviziunii D, atunci c este continut intr-un interval deschis

(xk-1,xk). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul xk, prin urmare:


sD(g,xi sD(f,xi S ( g(xi) - f(xi) )*( xi - xi-1 )| | g(xk) - f(xk)|*(xk - xk-1) 2*M*||D 2*M*he < e


Din analiza facuta pana acum rezulta ca:

sD(g,xi sD(f,xi) | < e


Din 1) si 2) obtinem:

b

sD(f,xi g(x)*dx | < e

a

b b

adica f este integrabila si:      f(x)*dx = g(x)*dx.

a a



EXEMPLE:


f:[a,b] R

f(x) = k

a

T f - integrabila si k*dx = k*(b-a)

b


if = k*(b-a) a.i. e > 0 he > 0 cu proprietatea ca D= (x0=a<x1<.<xn=b) si

xi I[xi-1,xi],    ||D||<he T sD(f,xi) - if |<e


sD(f,xi S f(xi)*(xi-xi-1) = S k(xi-xi-1) = k*S (xi-xi-1) = k(x1-x0+x2-x1+.+xn-xn-1) =

= k*(xn - x0) = k*(b-a)


sD(f,xi) - if | = |k*(b-a) - k*(b-a)| = 0 < e e>0.



f,g:[a,b] R

1, pentru xIQ                        -1, pentru xIQ

f(x) = g(x) =

i-1, pentru xIRQ i 1, pentru xIRQ


f,g - nu sunt integrabile


Demonstratie pentru f(x) :

Fie D= (a=x0<x1<.<xn=b), avem:

S 1*(xi - xi-1) = b-a, pentru xi I Q

sD(f,x

iS (-1)*(xi - xi-1) = a-b, pentru xi I RQ


Cum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor xi, functia nu este integrabila.

Demonstratia se face analog pentru g(x).


Desi f,g nu sunt integrabile functiile:

(f+g)(x) = 0 xI[a,b]

(f*g)(x) = -1 xI[a,b]

(fog)(x) = 1 xI[a,b]

sunt integrabile ca fiind functii constante.


Sa se cerceteze integrabilitatea functiei:

0, daca x este irational sau x = 0

G(x) =

i 1/q, daca x = p/q, p/q fractie ireductibila


Rezolvare: Functia este integrabila pe segmentul [0,1]. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul [0,1] avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie acesta k. Fie D o diviziune arbi-trara a segmentului [0,1]. Exista cel mult 2k intervale partiale (pe care le notam d1',d2',.,d2k') care sa contina cele k puncte considerate anterior. Fiind dat e>0, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului e/2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d1", d2",. d2m" celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele di" (i = 1, 2, ., m) contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x = p/q, q>N, si astfel ca G(p/q) = =1/q<1/N. Deci :

2k m

Sd(G) - sd(G) = S (Mi' - mi')si S (Mi" - mi")si

i=1 i=1

Am notat cu Mi', respectiv mi' marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di' si cu Mi", respectiv mi" marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di", si' este lungimea lui di', iar si" este lungimea lui di".

Deoarece Mi' - mi'<1, mi" = 0, Mi"<1/N, i, avem

2k                               m

Sd(G) - sd(G) < S si' + (1/N)*S si" < e/2 + 1/N.

i=1       i=1

Daca N > 2/e, atunci 1/N < e/2 si Sd(G) - sd(G) < e

Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a

1

functiei este 0, avem sd(G) = 0, D; rezulta I = G(x)dx = 0. Datorita integrabilitatii functiei

0

G, avem :

1

G(x)dx = 0.

0

Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila.









Copyright © Contact | Trimite referat