Universitea de Stiinte Agronomice si Medicina Veterinara

Bucuresti

Specializarea Silvicultura

Lucrari practice la biostatistica forestiera

Tema

Sa se prelucreze statistico-matematic datele biometricereferitoare la un arboret de molid,in baza masuratorilor inregistrate in tabelul 1.1

Lucrarea nr 1.0

Tabel 1.1

Tabelul datelor de baza

nr.ord	d cm	ir mm	h m
nr.ord	d cm	ir mm	h m
nr.ord	d cm	ir mm	h m
nr. ord	d cm	ir mm	h m
nr. ord	d cm	ir mm	h m
nr. ord	d cm	ir mm	h m

Unde :

d-diametrul de baza ;

ir -cresterile in diametru pe 5 ani;

h-inaltimea arborelui;

-arbori cu varful rupt.

TABELUL 1.2 

FORMAREA DISTRIBUTIEI EXPERIMENTALE (EMPIRICE)

Limitele clasei cm	Centrul clasei cm	Punctaj	Frecventa absoluta
11,1-13,0			3
13,1-15,0
15,1-17,0
Total			155

s

TABELUL 1.3

FRECVENTELE DISTRIBUTIEI EXPERIMENTALE (EMPIRICE)

Centrul clasei cm	Frecventa absoluta	Frecventa absoluta cumulata	Frecventa relativa	Frecventa relative     cumulata
Total

Lucrarea nr 2.0

DETERMINAREA INDICILOR EMPIRICI PENTRU ARBORETUL LUAT IN                          CONSIDERARE

TABELUL 2.1

TABEL AJUTATOR PENTRU DETERMINAREA MOMENTULUI

Xi	ni
A=18
TOTAL

h=2

unde:

xi-centrul clasei de diametre;

ni-frecvente

h=2-marimea clasei;

A=18-valoarea aleasa aleatoriu.

Calculul momentelor oarecare:

unde:

, , , -momente obisnuite;

x-centrul clasei;

A-valoare aleasa aleatoriu;

h-marimea clasei;

n-frecventele

N-nr total de masuratori.

Calculul momentelor adevarate:

; ;

.

Calculul momentelor corectate:

=0;

Calculul mediei aritmetice:

, unde: -media aritmetica; N-nr de inregistrari;

-suma produsului dintre centrul clasei si frecventa absoluta.

Calculul mediei patratice:     

unde: -media patratica;

-clasa de diametre;

-frecvente

N-nr de inregistrari.

Calculul medianei:

,

Unde: -limita inferioara a clasei in care cade mediana;

-frecventa cumulata pana in intervalul medianei;

-frecventa corespunzatoare intervalului medianei.

Calculul modulului:

Unde valoarea de la limita inferioara a intervalului modal;

frecventa clasei modale;

frecventa clasei inferioare celei modale;

fecventa clasei superioare celei modale.

Calculul dispersiei(varianta):

Tabelul 2.2 Tabel ajutator pentru calculul indicilor distributiei empirice.

(cm)
Total

Unde:

clase de diametre; frecvente

N- numar de inregistrari.

Abaterea standard :

Asimetria:    

Deoarece si asimetria este pozitiva(de stanga)

ceea ce inseamna ca indicele asimetriei este semnificativ.

Excesul :

si indicele excesului nu este semnificativ.

Lucrarea 3.0

Compararea distributiilor experimentale cu distributiile teoretice

Tabel 3.1

Formarea distributiei experimentale privind numarul de arbori cu varful rupt

Nr de arbori cu varful rupt	Punctaj	Numarul de probe	Frecvente teoretice binomiale
			Relative   f(x)	Absolute f(x)	N
total

; ; ;

;

; ;

; ;

; ;

Tabel 3.2

Compararea distributiei experimentale cu distributia teoretica Poisson

Nr de arbori cu varful rupt	Punctaj	Numarul de probe	Frecvente teoretice binomiale
			Relative   f(x)	Absolute f(x)
total		N=31

Unde x-numarul de arbori cu varful rupt ; ni-numarul de probe ; N-numar de inregistrari.

; ;

;

Frecvente teoretice absolute:

Tabelul 3.3

Compararea distributiei experimentale cu distributia normala

a lui Gauss-Laplace

; ; unde =17.393 cm

s = 2.877 cm

                     

               

                   

                   

                   

Lucrarea 4.0

Stabilirea semnificatiei

4.1 Determinarea abaterii standarda mediei aritmetice pentru intreg arboretul.

Astfel cunoastem =17.393 cm si s=2.877 cm si trebuie sa calculam eroarea standard a mediei aritmetice:

Totodata trebuia sa calculam si coeficientul de variatie al mediei pentru intregul arboret:

4.2 Determinarea abaterii standard pentru prima grupa de 10 arbori

Nr. crt.	Xi = di (cm)	Xi*Xi
Total

4.3 Determinarea abaterii standard pentru cea de-a doua  grupa de 10 arbori

Nr. crt.	Xi = di (cm)	Xi*Xi
Total

4.4 Determinarea intervalului de incredere pentru intreg arboretul (testul u)

Probabilitatea de transgresiune	u

Astfel limitele intervalului de incredere sunt:

• Pentru probabilitaea de transgresiune de 5% :
• Pentru probabilitatea de transgresiune de 1% :

• Pentru probabilitatea de transgresiune de 0.1% :

4.5 Determinarea intervalului de incredere pentru prima grupa de arbori(testul t)

Probabilitatea de transgresiune	t

;

Astfel limitele de incredere sunt:

-ptr. transgresiune de 5% :

-ptr. transgresiune de 1% :

-ptr. transgresiune de 0.1% :

4.6 Determinarea intervalului de incredere pentru al doilea grup de arbori(testul t)

Limitele intervalului sunt:

-ptr. transgresiune de 5% : -ptr. transgresiune de 1% :

-ptr. transgresiune de 0.1% :

4.7 Stabilirea semnificatiei dintre 2 variante(pentru primii 10 si pentru cel de-al doilea grup de 10 arbori)

Stabilirea semnificatiei se realizeaza cu ajutorul testului Fischer.Cunoastem variantele s1 si s2 si cu ajutorul acestora calculam , unde -varianta cea mare si -varianta cea mica

Testul Fischer : si

=0.17 si =0.14

Gradele de libertate vor fi: f1 = f2 = 10-1 = 9 

Deoarece < la o probabilitate de transgresiune de 5%(3.18) si de 1%(5.35),putem sustine ca diferenta dintre cele doua variante este nesemnificativa.

In cazul de fata cand cele doua variante nu se deosebesc avem dreptul de a calcula o varianta medie.

4.8 Stabilirea semnificatiei dintre 2 medii .

Consideram media cu valoarea cea mai mare si media cu valoarea cea mai mica.

=13cm ; =14.15cm - =d d=1.15cm

Numarul gradelor de libertate:

pentru distributia student(G) :

, ,

Concluzia:deoarece pentru toate cele trei tipuri de transgresiune consideram ca cele 2 medii fac parte din populatii diferite.

Diferenta dintre cele doua medii este foarte semnificative.

Deci nu este indicat a se face o medie reunita,cele doua medii facand parte din populatii diferite.

4.9 Procedeul diferentei limita

DL=t* , = ,

DL(5%)=2.101*0.174=0.365

DL(1%)=2.878*0.174=0.500

DL(0.1%)=3.922*0.174=0.365

d=

diferenta este foarte semnificativa.

Sa se stabileasca semnificatia diferentei dintre distributiile experimentale si cele teoretice. Comparam pentru fiecare clasa cu .

Tabel 4.10 Compararea distributiei experimentale cu distributia teoretica binomiala

Numarul de arbori cu varful rupt	Frecvente absolute	Frecvente teoretice
Total

Tabel 4.11 Compararea distributiei experimentale cu distributia teoretica Poisson

Numarul de arbori cu varful rupt	Frecvente absolute	Frecvente teoretice
Total

Gradele de libertate f = k-2 = 3-2=1 ,

Unde :

k - nr.claselor dupa grupare.

Concluzie:Deoarece rezulta ca distributia experimentala concorda cu distrbutia teoretica Poisson .Se demonstreaza astfel ca cele doua distributii nu se deosebesc semnificativ.

Astfel,procesul urmarit(arbori cu varful rupt)se desfasoara dupa o anumita legitate(legea elementelor rare).

Lucrarea 5.0

Analiza variantei

(Analiza dispersionala)

Sa se stabileasca daca pozitia locurilor de proba(statiunea),fiecare loc de proba avand cate 5 arbori,influenteaza sau nu diametrul arborilor.In acest scop se va folosi analiza simpla a variantei.Prin loc de proba consideram grupa de 5arboricu numarul:10(loc de proba numarul 1),12(loc deproba numarul 2),25(loc de proba numarul 3).

Vom verifica dac diferenta dintre mediile diametrelor este sau nu semnificativa.

Tabelul 5.1.

Grupa	Valori Xij	ni	Suma Ti	Medii
			T1=76.8
			T2=81.4
			T3=101
Total		N=15	G=259.2

Se calculeaza indicatorul C:

Se calculeaza Q suma patratelor abaterilor:

Suma patratelor abaterilor dupa :

Suma patratelor reziduala:

Varianta dupa T :

Varianta reziduala :

Tabelul 5.2 Tabelul standard al variantei

Sursa variantei	S.P.A.	Nr. grade libertate	Dispersia (varianta)	Fexp
Intre grupe
In interiorul grupelor
Total		N-1=14

(atat de 5% cat si de 1% transgresiune) rezulta ca avem un sistem neomogen,statistic asigurat.

Deci avem temei ca pozitia locului de proba influenteaza diametrul arborilor.

Etapa 2.

Stabilirea semnificatiei diferentei dintre dintre diametrele medii

Metoda diferentei limita (DL)

t (5%)
t (1%)
t (0.1%)

Calculul abaterii standard a mediei:

Calculul diferentelor limita(DL) pentru diferite probabilitati de transgresiune(testul t):

• DL(5%)=t(5%)*Sd=2.179*0.143=0.311
• DL(1%)=t(1%)*Sd=3.055*0.143=0.436
• DL(0.1%)=t(0.1%)*Sd=4.318*0.143=0.617

Tabelul 5.3. Stabilirea semnificatiei dintre medii

Grupa		Diferenta fata de

Concluzii:

Comparand pe rand  cele trei valori ale mediilor(3.920. 4.840, 0.920) cu cele trei valori ale diferentelor limita pentru diferite probabilitati de transgresiune rezulta ca sunt pe rand semnificative,distinct semnificative si in cele din urma foarte semnificative.

Lucrarea 6.0                         

Analiza corelatiei

Sa se efectueze analiza corelatiei dintre cresterea radiala si diametrul arborilor din arboretul luat in considerare.

Diametrul (d) va fi notat va fi notat cu x;

Cresterea radiala( ) va fi notata cu y.

Tabel 6.1 Tabelul de corelatie

(Distributia bidimensionala)

Clase de crestere (mm)	Clase de crestere								Total
Total

Urmeaza a se calcula coeficientul de corelatie:

unde: -varianta produsului x si y;

-abaterile dupa x ;

-abaterile dupa y.

Cu ajutorul formulelor:

Dispersia dupa x: ;

Dispersia dupa y: ;

Varianta produsului xy: .

Pentru simplificarea calculelor vom intocmi un tabel de lucru ,acesta va contine diametrele(x),cresterile radiale( ),produsul xy,patratul lui x si patratul lui y.Cu ajutorul acestui tabel se vor obtine sumele lui x,y,xy, , .

Tabel 6.2 Determinarea coeficientului de corelatie cu privire asupra legaturii dintre cresterea in diametru si diametrul acestora.

	x	y	xy

Astfel se poate afla  

6.3 Stabilirea semnificatiei coeficientului de corelatie

Se va stabili intervalul de incredere cu ajutorul formulei : ,unde este abaterea standard a coeficientului de corelatie si este egala cu .

Se va transforma coeficientul de corelatie r in  

,valoarea lui z se va obtine din anexa 11 in functie de valoarea lui r.

Se va calcula abatera standard a coeficientului de corelatie dupa z ,aceasta este egala cu

Vom calcula Uexperimental:

Uexp trebuie comparat cu Uteor

Probabilitatea de transgresiune	Uteor

Daca atunci diferenta este semnificativa;

Daca atunci diferenta este distinct semnificativa;

Daca atunci diferenta este foarte semnificativa.

Se va stabili intervalul de incredere pentru z :

-pentru u5%:

-pentru u 1%:

-pentru u0.1%:

Datorita faptului ca lucram cu numere mici trebuie sa lucram cu distributia Student(t):

Lucram cu f grade de libertate :f= N-2 = 45-2 = 43 grade de libertate.

R minim teoretic se va obtine din distributia Student:

Probabilitatea de transgresiune	t

Daca atunci diferenta este semnificativa;

Daca atunci diferenta este distinct semnificativa;

Daca atunci diferenta este foarte semnificativa;

Concluzia este ca diferenta este foarte semnificativa.Matematic a fost demonstrat statistic ca intre x si y exista o corelatie pozitiva,relativ puternica si foarte semnificativa.Si intrucat Uexp este mai mare decat Uteor pentru cele trei probabilitati de transgresiune,admitem ca existenta corelatiei liniare este dovedita.

Din punct de vedere silvic intre cresterea radiala (ir) si diametrul (d) exista o legatura corelativa,relativ puternica si foarte semnificativa.

Lucrarea 7.0

Analiza regresiilor

Sa se stabileasca ecuatia de regresie liniara privind legatura corelativa dintre cresterea in diametru (ir=y) si diametrul(d=x) al arborilor luati in considerare.

Metoda celor mai mici patrate

Tabel 7.1 Tabel ajutator pentru determinarea coeficientilor de regresie   (s-a folosit tabelul de la lucrea 6.2).

	di(cm) x		ir(mm) y		xy

Forma generala a ecuatiei de regresie liniara este :

     (forma matematica); (forma silvica)

y=ir=cresterea radiala                            x=d=diametrul

Cu ajutorul acestei formule vrem sa aflam legatura dintre ir si d(cresterea radiala si respectiv diametrul arborilor).Avem de determinat (coeficient de regresie)si (termen liber).

0.57=0.80 =0.71

y=-0.89+0.71x (d=14)

ir=-0.89+0.71d          avem ir=9.05

y=-0.89+0.71x (d=20)

ir=-0.89+0.71d          avem ir=13.3

Dispersia :

         

Cu ajutorul dispersiei putem calcula eroarea ecuatiei de regresie:

Stabilirea ecuatiei de regresie prin intermediul coeficientului de corelatie r:

Astfel avem :

    

y= -0.74+0.69x

ir= -0.74+0.69d

7.2 Sa se stabileasca ecuatia de regresie neliniara(parabola de gradul 2 ) privind legatura corelativa dintre inaltimea arborilor (y=h) si diametrul lor (x=d).

Avem forma matematica : , unde x=d=diametrul si y=h=inaltimea.

De aici rezulta si forma silvica a ecuatiei si anume: .

Tabel 7.2 Tabel ajutator pentru calcularea ecuatiei de regresie neliniara.

	x	y				xy	y

y= -16.406 + 2.911x - 0.0607        h= -16.406 + 2.911d - 0.0607

Pentru d=12 avem h=9.8

Pentru d=18 avem h=16.3

Pentru d=26 avem h=18.2

7.3 Sa se stabileasca ecuatia de regresie multipla liniara referitor la legatura corelativa dintre cresterea radiala(ir=x1),diametrul arborilor(d=x2) si inaltimea lor(y=h).

	(cm)	(m)				y (mm)

y=4.73+1.20 -0.94

Pentru :

d=10 si h=10

d=20 si h=10

d=10 si h=20

d=20 si h=20

Lucrarea 8.0

Corelatia rangurilor

Aceasta metoda este utilizata pentru stabilirea legaturii intensitatii corelative dintre doua caracteristici.

Astfel vom utiliza din carnetul de note al saptelea arbore pentru care vom calcula corelatia rangurilor dintre caracterele d(diametru) si ir(cresterea radiala).

Tabel 8.1 Tabel ajutator pentru determinarea intensitatii corelative dintre cresterea radiala si diametrul arborilor.

d	ir	Rang d	Rang ir	di
Total

Rangul numarul 1 se aloca valorii celei mai mari.

f = N-2 = 7-2 = 5

Rangul teoretic pentru probabilitatea de transgresiune de 5% este mai mare decat rangul calculat : ,de unde rezulta ca este nesemnificativ.

Lucrarea 9.0

Metoda selectiva

Sa se determine media aritmetica ,eroarea mediei aritmetice si intervalul de incredere al diametrului mediu din arboretul de molid considerat ,folosind in acest scop metoda sondajului simplu si metoda sondajului sistematic.

9.1 Metoda sondajului simplu

Consideram o toleranta(o eroare limita) D %=10% si o probabilitate de transgresiune de u5%=1.96.

Astfel rezulta ca avem nevoie de un numar de 17 arbori alesi aleator printr-un anumit numar de ordine,numar ales din tabelul numerelor aleatoare :78,37,10,95,69,29, 139,68.33,144,117,125, 55,136,154,95,23.

, , ,

,

Tabel 9.1

d( )

media aritmetica

Valoarea adevarata a mediei si intervalul de incredere:

se incadreaza in intervalul de incredere

Aceasta afirmatie corespunde unei probabilitati de acoperire de 95%.

9.2 Metoda sondajului sistematic.

Se imparte numarul total de arbori inscrisi in carnetul de teren (N) la numarul n calculate: De aici rezulta faptul ca ,, pasul'' de alegere al arborilor este din 9 in 9.

d( )

media aritmetica

Valoarea adevarata a mediei si intervalul de incredere:

Aceasta afirmatie corespunde unei probabilitati de acoperire de 95%.

Lucrarea 10.0

Sinteza a prelucrarilor statistico-matematice referitoare la caracteristicile biometrice ale arboretului luat in considerare.

In prima parte a Lucrarii nr.1 avem tabelul 1.1 in care se prezinta patru caracteristici biometrice ale arborilor dintr-un arboret de molid de circa 40 de ani intins pe o suprafata de 0.1 ha.

Au fost masurate diametrele la inaltimea pieptului in cm si mm cu clupa silvica(d),inaltimile arborilor(h)-la o parte din arbori,cresterea in diametru(ir) folosind burghiul Pressel.Totodata au fost identificatisi arbori care din diferite cauze au avut varful rupt(*).

Arborii din punct de vedere al diametrelor au fost incadrati in 31 de grupe,fiecara avand cate 5 arbori.

In tabelul 1.2 s-au format 10 clase de diametre ,fiecare clasa avand minim 2 cm.

Amplitudinea de variatie a diametrelor este de 13.7cm.

Majoritatea arborilor este concentrata in clasele de diametre centrale,frecventele fiind din ce in ce mai mari la clase de diametre extreme.

In tabelul 1.3 avem o prima prelucrare a datelor-determinarea frecventelor experimentale ale distributiei experimentale empirice(diferite de cele teoretice).Orin raportarea frecventelor relative se prezinta o estimatie probabilistica.Notiunii de frecventa relativa cumulata ii corespunde notiunea de functie de distributie.Frecventele relativ cumulate sunt estimatii ale functiei de distributie.Frecventele relative sunt estimatii ale functiei de frecventa.

Varful poligonului frecventelor cumulate (Gf.1.3) are forma unui S alungit ,ceea ce coreleaza cu notiunea de integrare.

In Lucrarea nr.2 ,pentru determinarea indicilor empirici si a distributiei date s-au calculat in prealabil momentele conventioanale(m'1,m'2,m'3 m'4 ) prin intermediul carora s-au calculat momentele centrate.Acest lucru s-a facut pentru simplificarea calculelor.Calculul momentelor conventioanale a fost ajutat de inregistrarile di tabelul 2.1 unde a fost aleasa o valoare de referinta:(A),clasa de diametre(18).

Intrucat diametrele arborilor au fost grupate in clase a fost necesar ca momentele centrate de ordinul 2 si 4 sa fie corectate.

In privinta diametrelor au fost determinati urmatorii indici ai distributiei experimentale:

-media aritmetica

-media patratica

-mediana

-modulul

-dispersia(varianta)

-abaterea standard

-coeficientul de variatie

-indicele asimetriei

-Indicele excesului

Constatam ca media patratica este mai mare decat media aritmetica,ceea ce corespunde din punct de vedere teoretic.

In Lucrarea3.0 se constata ca distributia experimentala urmeaza legile distributiei binomiale si Poisson.Distributia experimentala este relativ apropiata de distributia binomiala.

S-a format o distributie experimentala prin incadrarea in clase a grupelor de cate 5 arbori in raport cu frecventa celor cu varful rupt.In graficul 3.3 se prezinta comparativ distributia experimentala si cea teoretica(normala) a arborilor in raport cu diametrele.

Se constata o buna concordanta intre cele 2 distributii.

Coomparand distributia experimentala cu distributia teoretica normala s-a constatat prin intermediul criteriului ca arboretul dat,din punct de vedere al distributiei numarului de arbori pe categorii de diametre.prezinta o discordanta semnificativa(Tabel 4.10).

S-a stabilit abaterea standard a mediei precum si intervalul de incredere pentru diferite probabilitati de transgresiune .

S-a stabilit semnificatia dintre doua variante(pentru primul grup de arbori si a doua grupa de arbori),cele doua variante fiin omogene.

Prin intermediul analizei variantei s-a stabilit ca pozitia spatiala a grupelor de cate 5 arbori influenteaza asupra diametrului mediu.Au fost stabilite astfel,grupele de cate 5 arbori cu diferente distinct semnificative si foarte semnificative(Tabel 5.3).

Aplicand analiza corelatiei s-a constatat ca pentru arboretul dat exista o corelatie foarte puternica intre cresterea in diametru si diametrul arborilor,coeficientul de corelatie fiind r=0.85***

In cadrul aceleasi lucrari aplicand analiza regresiilor s-a stabilit ecuatia de regresie simpla liniara privind legatura corelativa dintre cersterea in diametru si diamtrul arborilor, rezultand ir= -0.89+0.71d (Figura 7.1)

Tot prin analiza regresiei a fost stabilita ecuatia de regresie simpla neliniara intre inaltimea arborilor(h) si diametrul acestora(d) :

ir= -16.406+2.911d -0.0605 (Figura 7.2)

In continuare a fost stabilita ecuatia de regresie liniara multipla intre cresterea in diametru,diametrul si inaltimea arborilor:

ir=

In final ,arboretul a fost inventariat folosind metode selectiva ata procedeul randomizat ,cat si procedeul sistematic.A rezultat, in baza probelor,diametrele astfel calculate ( 17.61cm si 16.79cm ) se incadreaza in intervalul de incredere al mediei intregului arboret pentru toate cele trei probabilitati de transgresiune.

S-a determinat volumul arboretului luat in considerare prin metoda ecuatiei dublu logaritmice: