Oscilatii amortizate





Oscilatii amortizate

Teoria lucrarii

Vom analiza miscarea amortizata a unui punct material supus unei forte elastice si unei forte de rezistenta proportionala cu viteza sa (forta intalnita de corpurile in miscare laminara prin fluide vascoase):

Oscila_2.gif



Ecuatia de miscare: se pune sub forma , unde , ω0 numindu-se frecventa unghiulara a oscilatiilor libere iar γ se numeste coeficient de amortizare sau decrement. In acord cu regulile de rezolvare a ecuatiilor diferentiale cu coeficienti constanti cautam o solutie de tip exponential x=ert pe care o introducem in ecuatia de miscare si obtinem ecuatia caracteristica:

Solutiile sunt:   

Solutia generala a ecuatiei de miscare este:

Distingem doua cazuri:

Cand γ < ω0 , r va avea doua valori complexe conjugate si solutia generala a ecuatiei de miscare va fi:


sau    unde a si α sunt constante reale. Aceasta solutie descrie ceea ce numim oscilatii amortizate. Ele sunt caracterizate prin faptul ca amplitudinea descreste in timp, energia scade odata cu lucrul mecanic efectuat de forta de rezistenta, iar in spatiul fazelor (x,v) traiectoria este o spirala care converge in origine.



Cand γ > ω0 r ia doua valori reale si negative si x descreste asimptotic catre valoarea 0 (pozitia de echilibru). Acest tip de miscare se numeste amortizare aperiodica sau oscilatii supraamortizate. Daca γ =  ω0 , ecuatia caracteristica are o radacina dubla, r= - γ si solutia ecuatiei de miscare este:

,

caz special de miscare aperiodica, amortizare critica, ea nemaiavand un caracter oscilator.

In cazul oscilatiilor amortizate energia medie scade exponential in timp:










Copyright © Contact | Trimite referat