STUDIUL MISCARII PUNCTULUI

STUDIUL MISCARII PUNCTULUI

STUDIUL MISCARII IN COORDONATE CARTEZIENE

A cunoaste miscarea punctului, inseamna a cunoaste in orice moment vectorul de pozitie , viteza si acceleratia acestuia (fig.8.7).

Vectorul de pozitie are expresia:

(8.13)

Ecuatiile parametrice ale traiectoriei sunt:

(8.14)

Traiectoria sau curba (C) se obtine prin eliminarea parametrului t, in ecuatiile parametrice ale miscarii.

Viteza se obtine ca derivata vectorului de pozitie in raport cu timpul:

(8.15)

Componentele vitezei sunt:

(8.16)

Modulul vitezei este:

(8.17)

Directiile pe care le formeaza suportul vectorului viteza cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinusii directori:

(8.18)

Acceleratia se obtine ca derivata in raport cu timpul a vitezei punctului sau derivata de doua ori in raport cu timpul, a vectorului de pozitie:

(8.19)

Componentele acceleratiei sunt:

(8.20)

Modulul acceleratiei este:

(8.21)

Directiile pe care le formeaza suportul vectorului acceleratie cu axele sistemului cartezian Oxyz sunt date de cosinusii directori:

(8.22)

2. STUDIUL MISCARII IN COORDONATE POLARE

Sistemul de coordonate polare este un sistem plan, pozitia punctului M pe curba (C) determinandu-se cu ajutorul coordonatelor polare: raza polara r si unghiul polar q (fig.8.9).

(8.29)

Ecuatiile (8.29) reprezinta ecuatiile parametrice ale miscarii in coordonate polare.

Eliminand timpul, rezulta ecuatia traiectoriei.

(8.30)

Versorii sistemului de coordonate polare sunt si , variabili in timp ca directie, intrucat se misca odata cu punctul M. In timpul miscarii, versorii si raman ortogonali.

Versorii si pot fi exprimati in functie de versorii si ai sistemului de axe cartezian, care sunt versori constanti in timp.

(8.31)

Derivand in raport cu timpul, rezulta:

(8.32)

Vectorul de pozitie al punctului M se exprima in functie de versorul

(8.33)     

Intrucat expresiile , si sunt functii de timp, viteza este:

(8.34)

Cum expresia vitezei exprimata prin proiectii pe axe este de forma:

(8.35)

rezulta componentele vitezei in coordonate polare:

(8.36)

Componentele si fiind perpendiculare, modulul vitezei este:

(8.37)

Intrucat expresiile sunt functii de timp, acceleratia este:

(8.38)

Cum expresia acceleratiei exprimata prin proiectii pe axe este:

(8.39)

rezulta componentele acceleratiei in coordonate polare:

(8.40)

Modulul acceleratiei este:

(8.41)

STUDIUL MISCARII IN COORDONATE CILINDRICE

Pozitia punctului M pe curba se determina cu ajutorul coordonatelor cilindrice: unghiul polar q, raza polara r, cota z (fig.8.10).

Ecuatiile parametrice ale traiectoriei sunt:

(8.42)

unde:

Directiile axelor sistemului de coordonate sunt ortogonale si au versorii: - pentru raza polara OM', - pentru o directie perpendiculara pe raza polara, - pentru axa Oz.

Ecuatia curbei (C) se obtine eliminand timpul in ecuatiile parametrice ale traiectoriei:

(8.43)

Vectorul de pozitie al punctului M, in miscarea pe curba (C) este:

(8.44)

Avand in vedere ca:

(8.45)

prin derivarea in raport cu timpul a vectorului de pozitie, definit de relatia (8.44) se obtine viteza punctului M:

(8.46)

Cum viteza, in sistemul de coordonate cilindrice, poate fi scrisa sub forma:

(8.47)

se obtin componentele vitezei in sistemul de coordonate cilindrice:

(8.48)

a carei marime este data de expresia:

(8.49)

Cu mentiunea (8.45), acceleratia punctului M devine:

(8.50)

Cum:

(8.51)

componentele acceleratiei pe axele sistemului de coordonate cilindrice sunt:

(8.52)

Marima acceleratiei este:

(8.53)

STUDIUL MISCARII IN COORDONATE NATURALE

Sistemul de coordonate natural numit si intrinsec sau triedrul Frenet este un sistem de referinta mobil (fig.8.11), cu originea in punctul M, care efectueaza miscarea si avand ca axe:

tangenta, cu versorul , pozitiv in sensul cresterii parametrului scalar s, masurat de la originea arcelor, M₀;

normala principala, cu versorul pozitiv inspre centrul de curbura;

binormala, cu versorul definit astfel incat versorii sa formeze un sistem triortogonal drept ().

Planele determinate de cei trei vectori se numesc: osculator, rectifiant si normal.

Pentru determinarea componentelor vitezei si ale acceleratiei in triedrul Frenet, se va utiliza relatia de definitie a tangentei la o curba

(8.54)

si formula Frenet:

(8.55)

in care r este raza de curbura in punctul M.

Sistemul natural se utilizeaza cand se cunoaste ecuatia orara a miscarii (8.5), .

Vectorul de pozitie se poate exprima in functie de elementul de arc, s:

(8.56)

Viteza se obtine derivand vectorul de pozitie in raport cu timpul si tinand seama de relatia (8.54):

(8.57)

Componentele vitezei pe axele triedrului Frenet sunt:

(8.58)

Rezulta ca viteza este dirijata dupa directia tangentei si are modulul:

(8.59)

Acceleratia se obtine derivand viteza in raport cu timpul si tinand seama de relatia (8.55):

(8.60)

Componentele acceleratiei pe axele triedrului Frenet sunt

(8.61)

Modulul acceleratiei este:

(8.62)

Acceleratia are componenta pe binormala, nula, in tot timpul miscarii, vectorul acceleratie fiind situat in planul osculator (fig.8.12).

Observatii

Daca , miscarea este uniforma;

Acceleratia este zero daca ambele componente ale acesteia sunt nule:

Singura miscare in care acceleratia este nula este miscarea rectilinie si uniforma.

Componenta tangentiala a acceleratiei exprima variatia vitezei in modul, iar componenta normala , variatia vitezei in directie.

Daca , miscarea este accelerata, daca , miscarea este incetinita (decelerata).

MISCAREA CIRCULARA

STUDIUL MISCARII IN COORDONATE CARTEZIENE

Punctul M se misca pe o traiectorie circulara de raza R, avand legea de miscare, viteza si acceleratia unghiulara date de expresiile:

(8.79)

Sistemul cartezian este ales cu originea O, in centrul cercului (fig.8.21). Ecuatiile parametrice ale traiectoriei sunt:

(8.80)

Prin eliminarea parametrului t, aflat implicit in legea de miscare q(t) va rezulta traiectoria, care este cercul de raza R cu centrul in originea O:

(8.81)

Componentele vitezei pe axele sistemului cartezian sunt:

(8.82)

Vectorul viteza are expresia:

(8.83)

si este tangent la traiectorie, adica perpendicular pe , deoarece produsul scalar este nul:

Modulul vitezei este:

(8.84)

Componentele acceleratiei se obtin prin derivarea componentelor vitezei:

(8.85)

Vectorul acceleratie are expresia:

(8.86)

si modulul:

(8.87)

STUDIUL MISCARII CIRCULARE IN COORDONATE POLARE

Ecuatiile parametrice ale miscarii circulare in coordonate polare sunt:

(8.88)

Din relatiile (8.88) se deduc:

(8.89)

Viteza punctului in coordonate polare are expresia:

(8.90)

Acceleratia punctului in coordonate polare are expresia:

(8.91)

Marimea acceleratiei este:

(8.92)

STUDIUL MISCARII CIRCULARE IN COORDONATE NATURALE

Punctul M se misca pe cercul de raza R, avand legea de miscare, viteza si acceleratia unghiulara date de expresiile:

(8.93)

Ecuatia orara a miscarii, (fig.8.23) este:

(8.94)

Vectorul viteza are expresia:

(8.95)

Componentele vitezei sunt:

(8.96)

iar modulul:

(8.97)

Vectorul acceleratie este:

(8.98)

Componentele acceleratiei sunt:

(8.99)

Modulul acceleratiei este:

(8.100)

Cazuri particulare: 1. miscarea circulara uniforma

Se caracterizeaza prin viteza unghiulara constanta, , deci . Caracteristicile unghiulare ale miscarii sunt:

(8.101)

2. miscarea circulara uniform variata

Se caracterizeaza prin acceleratie unghiulara constanta, . Caracteristicile unghiulare ale miscarii sunt:

(8.102)