FUNCTIONALE LINIARE; BILINIARE; FORME PATRATICE
Functionale liniare, functionale biliniare, forme patratice
Fie X/K spatiu vectorial
Definitie Se numeste functionala o
functie .
Definitie O
functionala se numeste liniara
daca
Exemplu:
Definitie
Multimea se numeste spatiul dual al
lui X.
Observatie Cum K este spatiu vectorial peste corpul K o functionala liniara este de fapt un operator liniar.
Fie X/K, Y/K doua spatii liniare peste acelasi corp K.
Definitie
Functionala se numeste functionala
biliniara daca este liniara in ambele argumente, adica:
1)
2)
si analog pentru variabila de pe pozitia a II-a, sau, echivalent cu cele 4 conditii din definitie:
Exemple:
1)
2)
Matricea functionalei biliniare in bazele E si G
Fie
o baza in X,
o baza in Y.
Pentru
Fie
Definitie
Matricea se numeste matricea functionalei
biliniare in bazele E si G.
Deci
Modificarea matricii unei functionale biliniare la schimbarea bazelor
In X presupunem trecerea de la E la baza cu matricea
In Y analog de la G la baza cu matricea
=
=. Deci
iar
Daca
X=Y si E=G, H=L rezulta
Definitie O
functionala biliniara se numeste
simetrica daca
Propozitie
f este o functionala biliniara
simetrica daca si numai daca matricea ei intr-o baza a
lui X este simetrica i.e. .
Observatie: Cu orice functionala biliniara se poate defini o
functionala biliniara simetrica
Fie o
functionala biliniara simetrica.
Definitie Se numeste functionala patratica (forma patratica) restrictia unei functionale biliniare simetrice la diagonala produsului cartezian, D
Daca baza a lui X si
, functionala patratica devine:
este matricea
atasata functionalei patratice V in baza E.
Functionala biliniara din care provine V, se numeste functionala polara a formei patratice V. Ea se obtine astfel:
deci
Modificarea matricii unei functionale patratice la schimbarea bazei se face analog cu cea a unei functionale biliniare.
Fie baza E G
matricea atasata lui V in
baza G
Definitie
Despre o forma
patratica spunem ca are expresia canonica daca sau matricea atasata ei are forma
diagonala:
Baza in care are loc aceasta scriere se numeste o baza canonica pentru functionala V.
Aducerea la expresia canonica a unei forme patratice; procedee(metoda Gauss, Jacobi, vectorilor proprii);
1. Metoda Gauss
Pentru
orice forma patratica exista o baza canonica G in
care forma ei este cu
. Fie
exemplele:
a) Cazul
b) Cazul Fie forma patratica
Atunci cu
transformarea
;
cu transformarea:
.
2) Metoda Jacobi
Teorema Daca in baza E forma patratica
V are matricea cu
atunci exista o baza G in care forma patratica are expresia canonica data de:
cu