Fie (M,*), MxM M, (x,y) x*y, M-nevida.
Axiomele monoidului:
M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zIM (asociativitatea);
M2. eIM astfel incat x*e = e*x = x xIM (e element neutru);
daca M3. x*y = y*x, x,yIM monidul este comutativ.
Fie (G,*), GxG G, (x,y) x*y, G-nevida.
Axiomele grupului:
G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zIG(asociativitatea);
G2. eIG astfel incat x*e = e*x = x xIG (e element neutru);
G3. xIG x'IG astfel incat x'*x = x*x' = e (x' simetricul lui x);
daca G4. x*y = y*x, x,yIG grupul este comutativ (sau abelian).
Fie grupurile (G1, ), (G2,D
Definitia f:G1 G2 se numeste morfism de grupuri daca f(x y)=f(x)Df(y), x,yIG1.
Definitia f:G1 G2 se numeste izomorfism de grupuri daca f este bijectiva si f(x y)=f(x)Df(y), x,yIG1.
Definitia f:G1 G2 se numeste automorfism (endomorfism) al grupului G1, daca f este un izomorfism (morfism).
Fie (A,+, ), AxA A, (x,y) x+y si AxA A, (x,y) x y, A nevida;
Definitia . (A,+, ) este inel daca:
G. (A,+) este grup abelian;
M. (A, ) este monoid si
D. este distributiva fata de +:
x (y+z) = x y + y z
(y+z) x = y x + y z, x,y,zIA
daca C. x y = y x x,yIA, inelul este comutativ.
Fie inelele (A, ,*) si (A',D,o):
Definitia . f:A A' se numeste izomorfism de inele daca f este bijectiva si f(x y) = f(x)Df(y), f(x*y) = f(x)of(y), x,yIA.
Definitia . (A,+, ) este inel fara divizori ai lui zero daca x 0, y 0 implica x y 0.
Definitia . Un inel comutativ cu cel putin doua elemente si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu integritate.
Definitia . Daca (A,+, ) este inel, atunci (A[X],+ ) este inelul comutativ al polinoamelor cu coeficienti in A
fIA[X], f = a0 + a1X + a2X2 + . + anXn este forma algebrica a unui polinom de nedeterminata X cu coeficienti in A:
daca an 0, grad f = n (an - coeficient dominant);
daca a0 = a1 = . = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -
Proprietati 1. grad (f+g) max;
2. grad f g grad f + grad g.
Teorema. Daca A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de integritate si grad f g = grad f + grad g, f,gIA[X]
Fie (K,+, ), KxK K, (x,y) x+y si KxK k, (x,y) x y, K - nevida.
Definitia XVII.4.1. (K,+, ) este corp daca (K,+, ) este inel, 0 1 si xIK, x 0 T x-1IK, astfel incat x x-1 = x-1 x = 1
Daca x y = y x x,yIK, corpul este comutativ.
Definitia XVII.4.2. Fie corpurile (K, ,*) si (K',D,o), f:K K' este izomorfism de corpuri daca f este bijectiva, f(x y) = f(x) D f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,yIR.
Teorema impartirii cu rest in multimea K[X], K corp comutativ si gIK[X], g 0: fIK[X], exista polinoamele q,rIK[X], unic determinate astfel incat f = q g+r, grad r < grad g.
