Test asupra mediei unui esantion dintr-o populatie normala

Test asupra mediei unui esantion dintr-o populatie normala

Sa consideram ca variabila X corespunde unei populatii originare normal repartizate  N(m,), fara a se cunoaste media ei m, si ca dispunem de un esantion de volum  n din aceasta populatie. Pentru a testa egalitatea mediei m cu o valoare ipotetica data m₀, vom considera urmatoarele ipoteze statistice:

H₀ m m₀

H₁ m m₀

In acest caz vom intalni doua situatii: (a) se cunoaste dispersia populatiei originare (e drept, o supozitie mai putin probabila) si (b) nu este cunoscuta dispersia . In primul caz, cand se cunoaste , se construieste statistica test:

T =

care este repartizata normal standard. Se calculeaza apoi valoarea:

T₀ =

si vom rationa astfel: daca |T₀| ia o valoare semnificativ prea mare, vom respinge ipoteza nula H₀, daca nu, o vom accepta. Concret se face apel la nivelul de semnificatie P corespunzator.

Exemplu.

Sa consideram esantionul:

dintr-o populatie normala de dispersie cunoscuta  = 1. Ne propunem testarea ipotezei statistice H₀ : m = 0,01. Din calcule reiese ca T₀ = -0,213 pentru care gasim valoarea lui P egala cu 0,83 > 0,05 deci vom accepta ipoteza nula ca media populatiei este egala cu 0,01. In cazul in care ipoteza propusa este
m = 0,5 obtinem T₀ = -2,663 si nivelul de semnificatie P = 0,008 < 0,05 deci vom respinge ipoteza nula.

In al doilea caz, in care nu se cunoaste a priori dispersia populatie originare, situatie cel mai des intalnita in practica, se va considera statistica test:

T =

care se va supune unei legi Student cu (n - 1) grade de libertate si vom compara valoarea obtinuta:

T₀ = ,

unde este estimatia nedeplasata corespunzatoare deviatiei standard. In final, se rationeaza analog cazului anterior.

Plecand de la statistica T, putem construi intervalul de incredere I_a corespunzator gradului de incredere a. (pentru amanunte, a se vedea Foucart et al., 1987).

Exemplu.

1) (Mihoc et al, 1977) Sa presupunem ca am prelevat dintr-o populatie normala urmatorul esantion de volum n = 10:

care reprezinta diferenta de productivitate orara a unui numar de 10 lucratori ce folosesc doua masini-unelte A si B, ce trebuie comparate pentru a se stabili superioritatea uneia dintre ele fata de cealalta . Sa precizam ca se considera ca cei 10 lucratori sunt relativ egal calificati, diferentele provenind de la caracteristicile celor doua masini. Pentru exemplificare, prezentam tabelul complet al productivitatilor medii orare pentru cele doua masini si al diferentele corespunzatoare, pentru cei 10 lucratori:

Din calcule, obtinem:  = -0.4, = 0.553. Presupunem m₀ = 0 si, in urma calculelor, obtinem ca:

T₀ = -2.28,

Ceea ce implica, pentru o repartitie Student cu 10 – 1 = 9 grade de libertate un nivel de semnificatie P egal cu 0,048 < 0,05 deci vom respinge ipoteza nula ca nu exista diferente semnificative intre cele doua masini. Se observa totusi ca nivelul de semnificatie obtinut este foarte aproape de valoarea standard deci respingerea ipotezei nule se face la limita, existand posibilitatea foarte probabila ca cele doua masini sa nu difere suficient de mult pentru ca una sa fie preferata.