Definitii:
• Daca cele doua semidrepte care formeaza
un unghi sunt semidrepte opuse, atunci unghiul se numeste unghi
alungit sau unghi cu laturile in prelungire.
B O A este
unghi alungit
• Un unghi format din doua semidrepte identice
se numeste unghi nul.
O M N este unghi nul
• Un unghi care nu este nici alungit si nici
nul se numeste unghi propriu.
• Interiorul unui unghi propriu AOB este
multimea punctelor M din planul unghiului AOB a.i. M si B sunt
de aceeasi parte a dreptei OA si M si A sunt de aceeasi parte
a dreptei OB.
• Exteriorul unghiului propriu AOB este multimea
punctelor din planul unghiului AOB care nu este nici pe laturi
, nici in interiorul sau. exterior B interior
O • M
Exterior exterior
A
Numarul de grade ale unui unghi se numeste masura
sa.
Daca are n grade, scriem
Unghiul cu laturile in prelungire are .
Unghiul nul are .
Axioma de adunare a unghiurilor
Doua unghiuri cu masuri egale sunt congruente si reciproc, doua unghiuri congruente au masuri egale. 48632fxr71vut7j
Un grad are 60 de minute
Un minut are 60 de secunde.
Daca M este in interiorul unghiului AOB atunci
B M
A
-
Pentru a aduna masurile a doua
unghiuri exprimate in grade, minute si secunde se aduna numerele
care reprezinta unitati de acelasi fel (grade, minute, secunde).
Daca numarul minutelor sau secundelor obtinute este m. mare
de 60 se transforma in unitati mai mari.
Exemplu:
-
Pentru a scadea masurile a
doua unghiuri expr. in grade, minute si secunde se scad numerele
care reprezinta unitati de acelasi fel. Daca nr. de min. sau
sec. de la descazut este m.mic decat cel de la scazator, se
transforma un grad in minute sau un minut in secunde si se
adauga la cele existente, apoi se efectueaza scaderea.
Exemplu: a)
b)
Definitii:
Doua
unghiuri proprii care au varful comun , o latura comuna, iar celelalte
doua sunt situate de o parte si de alta a dreptei care contine
latura comuna, se numesc unghiuri adiacente.
Se
numeste bisectoarea unui unghi propriu
semidreapta cu originea in varful unghiului, situata in interiorul
lui, a.i. cele doua unghiuri formate de ea cu laturile unghiului
initial sa fie congruente.
C A
B
Doua unghiuri proprii pentru care suma masurilor
este , se numesc unghiuri suplementare. Fiecare dintre
cele doua unghiuri se numeste suplementul celuilalt.
C M
A P Unghiurile ABC si MNP
sunt suplementare
este suplementul
si invers.
B N
Daca laturile necomune a doua unghiuri adiacente sunt semidrepte opuse, atunci unghiurile sunt suplementare. A xu632f8471vuut
B O A
Teorema: Daca doua unghiuri sunt congruente,
atunci si suplementale lor sunt congruente
Ipoteza: si
suplementul si suplementul
Concluzie: Demonstratie
AFIRMATII |
EXPLICATII |
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. |
-
Dat in ipoteza
-
Unghiurile congruente au masuri egale
-
Definitia unghiurilor suplementare
-
Definitia unghiurilor suplementare
-
Simetria si tranzitivitatea
-
Scaderea egalitatilor 5. si 2.
-
Unghiurile cu masuri egale sunt congruente.
|
Definitii:
-
Se numeste unghi drept orice unghi care
este congruent cu suplementul sau.
-
Daca suma masurilor a doua unghiuri proprii
este atunci ele se numesc complementare,
iar fiecare dintre ele se numeste complement al celuilalt.
obtuz ascutit
Daca doua unghiuri sunt congruente, atunci complementele
lor sunt congruente.
Definitii:
Daca [AB si [AC formeaza un unghi drept, atunci ele se numesc drepte perpendiculare si se noteaza [AB [AC.
Daca [AB [AC., dreptele AB si AC se numesc drepte perpendiculare si se noteaza ABAC.
Daca [AB [AC. determina dreptele perpendiculare AB si AC, atunci ele se numesc segmente perpendiculare si se noteaza [AB] [AC].
-
Teoreme:
Daca duoa unghiuri sunt complementare, atunci
amandoua sunt ascutite
Orice doua unghiuri drepte sunt congruente.
Daca doua unghiuri sunt congruente si suplementare,
? fiecare dintre ele este drept.
Definitii:
Doua unghiuri proprii se numesc opuse la varf
daca laturile lor formeaza doua perechi de semidrepte opuse.
Teorema unghiurilor opuse la varf
Unghiurile opuse la varf sunt congruente C
O B
Ipoteza : si sunt
opuse la varf.
Concluzie : D
A
Demonstratie :
Demonstratie
AFIRMATII
|
EXPLICATII |
1.
sunt opuse la varf
2. <[OA si [OC; [OB si [OD semidry. opuse
3. sunt suplementare
4. sunt suplementare
5. <BOC<AOD
6. <AOB<COD |
-
Dat in ipoteza
-
Definitia unghiurilor opuse la varf
3.4.Unghiuri adiacente
cu lat. Necomune semidrepte opuse
-
Reflexivitatea congruentei
-
Teorema suplementului
|
Definitii:
Trei sau m.multe unghiuri care au varful comun,
nu au puncte interioare commune si care, impreuna cu interioarele
lor, acopera intreg planul, se numesc unghiuri in jurul unui
punct.
Teorema unghiurilor in jurul unui punct
B
A’
Suma masurilor unghiurilor in jurul unui punct
este 360°
C O A
A’ este interior <BOC <AOB
si <BOA’ sunt suplementare
<A’OC si <COA sunt
suplementare
<AOB si <BOA’ sunt adiacente
<A’OC si <COA sunt adiacente
[OA’ si [OA sunt opuse
Demonstratie :
Teorema:
Daca la intersectia a doua drepte
distincte si concurente se formeaza un unghi drept, atunci toate
unghiurile care se formeaza sunt unghiuri drepte.
2 1
3 4
-
< 1 este drept 5.
-
<1 si < 3 sunt opuse la varf 6.
-
< 3 este drept 7. <4
este drept
-
<1 si < 2 sunt suplementare
Demonstratie :
