I N T R O D U C E R E I N G E O M E T R I A
D I F E R E N T I A L A A F I N A
Partea I
de Katsumi Nomizu
Prefata
Aceasta este partea I a notelor de lectura : Introducere in geometria
diferentiala afina. A fost intentionata ca o scurta introducere in geometria
diferentiala afina clasica, adica, geometriei hipersuprafetelor nedegenerate
intr-un spatiu afin pentru care grupul fundamental (in intelesul dat de
Programul Erlangen al lui F. Klein) este grupul transformarilor echiafine
(=special afine).
Cind am devenit interesat de acest subiect, primul meu scop a fost sa inteleg
despre ce era vorba intr-adevar. In aceste note am expus modul meu de a intelege
aceasta geometrie dintr-un punct de vedere obisnuit in geometria diferentiala in
zilele noastre. Cu toate ca a fost scris intr-o forma concisa, sper ca va oferi
cititorului o introducere pe intelesul sau. Intentionez sa continui cu partea II
si posibil cu partea III in care as dori sa prezint mai multe rezultate prin
prisma geometriei diferentiale afine clasice, impreuna cu cercetarile facute in
directia unei abordari mai generale a geometriei 'scufundarilor' afine.
Am inceput studiul pe aceasta tema la Institutul Max-Plank pentru Matematica,
la Bonn, in 1982, si am continuat cu cercetari ulterioare in colaborare cu
Ulrich Pinkall, in prezent aflat la Universitatea Tehnica Berlin, de unde au
provenit vizitele mele la Bonn si Berlin in ultimii ani. Aceste note, partea I,
sunt bazate pe lecturile si discutiile de la MPI, TU Berlin, Universitatea Brown
si Universitatea Canadei.
Bonn Katsumi Nomizu
Iulie 4, 1988
Cuprins
1. Structuri echiafine pe hipersuprafete nedegenerate
2. Ecuatii fundamentale
3. Graficul unei functii
4. Forma cubica si apolaritatea
5. Inca niste ecuatii
6. Teorema lui Pick si Berwald
7. 'Scufundari' conormale
8. Suprafete afine homogene
9. Laplacianul distantei afine si armonicitatea maparii conormale
10. Un exemplu : SL(n,R)/SO(n)
11. Hipersuprafete local simetrice afin
1. Structuri echiafine pe hipersuprafete nedegenerate
Fie f:M _ R o hipersuprafata in spatiul afin R . Pentru a dezvolta teoria
echiafina pentru M presupunem ca R este inzestrat cu o structura echiafina,
ceea ce inseamna ca are un element de volum fixat care este paralel fata de
conexiunea afina canonica obisnuita D in R .
Suntem interesati in introducerea unei structuri echiafine ( ,é) pe M , unde
este o conexiune afina invarianta la rotatii si é este un element de volum in
asa fel incit é=0. Vom presupune ca R este orientat in asa fel incit >0 si ca
M este de asemenea orientat.
Vom construi mai intii o teorie locala. Alegem un cimp vectorial transversal
in vecinatatea U a lui M in asa fel incit sa avem
(1.1) pentru fiecare xiU
in asa fel incit orientarea lui M urmata de coincide cu orientarea lui R .
Fie X si Y cimpuri vectoriale in U. Putem descompune D f (Y) folosind (1.1) si
avem
(1.2) in fiecare punct xiU.
La fel ca si in teoria clasica a hipersuprafetelor in spatiul Euclidian, putem
verifica ca este o conexiune afina invarianta la rotatii in U, h este un cimp
tensor care defineste o forma simetrica biliniara pe fiecare spatiu tangent
Tx(M).
Numim conexiunea afina determinata si h forma afina fundamentala corespunzind
lui
Putem de asemenea descompune D dupa cum urmeaza:
(1.3)
unde S este un cimp tensor de tipul (1,1), numit operatorul de forma, si este o
l-forma, numita forma de conexiune transversala.
Acum vom defini elementul de volum determinat é in U punind
(1.4)
si sperind sa obtinem proprietatea é=0. Avem
Lema 1.1. pentru fiecare XiT (M).
Demonstratie. Avem
unde am folosit D =0 si D = (X) .
De aici proprietatea =0, adica D este tanget la M , este cruciala. Vom
vedea ca in anumite conditii de nedegenerare pe M putem alege cu aceasta
proprietate si, intr-adevar, cu o proprietate aditionala, care va face alegerea
sa unica. Pentru acest scop avem
Lema 1.2. Daca alegem un alt cimp vectorial transversal , unde >0,
atunci pentru obiectele corespunzatoare avem
(i)
(ii)
(iii)
unde h(.,Z) este o l-forma a carei valoare pe X este h(X,Z).
Demonstratie. Verificare directa.
Din (i) avem ca h este determinat pina la o functie scalara >0. In
particular, daca h este degenerata sau nedegenerata depinde numai de M si nu de
alegerea lui . Daca h este nedegenerata in fiecare punct, spunem ca M este
nedegenerat.
Lema 1.3. Fie M nedegenerat. Daca este un cimp vectorial transversal si o
functie arbitrara scalara >0, atunci exista un cimp vectorial Z pe M in asa
fel incit pentru forma conexiunii transversale este 0.
Demonstratie. Deoarece h este nedegenerata, putem gasi Z in fiecare T (M) in
asa fel incit
h(X,Z)=- (X) - (d )(X)
pentru fiecare XiT (M). Din (ii) din Lema 1.2 avem =0.
Observatie. Daca doua cimpuri vectoriale transversale si sunt in asa fel
incit = si é=é , atunci = . Defapt, é=é implica =1. (iii) din Lema 1.2
implica Z=0.
Pentru a determina in mod unic pentru M nedegenerat, mai punem inca o
conditie. Fie elementul de volum asociat cu metrica h: Daca este o
baza ortonormala orientata in T (M) pentru metrica nedegenerata h, atunci (X ,
, X )=1.
Conditia pe care dorim sa o impunem este ca doua elemente de volum é si
determinate de alegerea lui coincid. Pentru a studia aceasta conditie, definim
o functie H dupa cum urmeaza.
Alegem o baza in asa fel ca é(X ,, X )=1 si punem
h =h(X ,X )
si
H =determinantul matricii [h ].
Este usor de verificat ca H este independent de alegerea lui
satisfacind é(X ,, X )=1.
Lema 1.4. é= daca si numai daca valoarea absoluta a lui H este egala cu 1.
Demonstratie. Alegem ca mai sus. Presupunem , 1óión,
sunt ortonormale fata de h, sa spunem, h(X ,X )= , unde =-1 pentru 1óióp,
=-1 pentru p+1ójón.
Atunci avem
asa incit det A= (presupunind det A>0). Din
obtinem
Deci , adica =é daca si numai daca
Lema 1.5. Pentru o schimbare a cimpului vectorial transversal ca in
Lema 2, scriem . Atunci
(i)
(ii)
Demonstratie. Stim ca h= . Alegem cu é(X ,, X)=1 in asa fel
incit H=det[h(X ,X )]. Avem
Scriem . Deoarece avem
care demonstreaza (i). (ii) decurge din h= si (i).
Din (ii) din Lema 1.5 avem o forma unic definita , care
este numita metrica afina.
Acum avem :
Teorema 1.1 Fie M o hipersuprafata nedegenerata. Atunci este un cimp
vectorial transversal unic care satisface
(i) forma de conexiune transversala este 0
(ii) elementul de volum determinat coincide cu elementul de volum pentru
forma afina fundamentala.
Putem de asemenea inlocui (ii) prin
(ii a) forma fundamentala afina coicide cu metrica afina
sau
(ii b) elementul de volum determinat coincide cu elementul de volum al
metricii afine.
Demonstratie. Incepem cu orice cimp vectorial transversal si calculam H=H
Cu , fie . Din Lema 1.3 putem alege Z asa incit forma de
conexiune transversala pentru este 0. Din Lema 1.5 (i), avem asa incit
=1, ceea ce inseamna ca elementul de volum determinat coincide cu elementul de
volum pentru forma fundamentala pentru .
Din Lema 1.5 (ii) vedem ca coincide cu metrica afina . De aici coincide
cu elementul de volum pentru metrica afina.
Am aratat existenta unui cimp vectorial transversal care satisface (i), (ii),
(ii a) si (ii b).
Pentru a arata partea de unicitate din aceasta teorema, fie un cimp
vectorial transversal satisfacind (i) si (ii). Atunci, din Lema 1.4, . De
aceea h= si é= = . De aceea oricare doua cimpuri vectoriale transversale
satisfacind (ii) trebuie sa aiba aceleasi elemente de volum determinat. Daca
amindoua satisfac (i), ele trebuie sa coincida, dupa cum stim din observatia de
dupa Lema 1.3.
Unicitatea unui cimp vectorial transversal satisfacind (i) si (ii a), sau (i)
si (ii b) este de asemenea evidenta din ceea ce am spus mai sus.
Cimpul vectorial transversal unic din Teorema 1.1 este numit afin normal.
Pentru alegerea sa unica, am determinat conexiunea si elementul de volum
determinat é (egal cu elementul de volum pentru metrica afina ), care impreuna
definesc o structura echiafina naturala (obisnuita ?) pe M . Forma fundamentala
afina este aceeasi cu metrica afina.
2. Ecuatii fundamentale
Fie M o hipersuprafata nedegenerata in R si fie normala afina (a carei
existenta unica am stabilit-o in Teorema 1.1). Pentru aceasta alegere, am
determinat conexiunea , forma afina fundamentala h, care coincide cu metrica
afina , operatorul de forma S, volumul determinat é care coincide cu elementul
de volum al metricii afine.
Avem urmatoarele ecuatii fundamentale pentru aceste elemente :
Ecuatia lui Gauss : Tensorul de curbare R al este dat de
(2.1)
Ecuatia lui Codazzi pentru h :
(2.2)
Din acestea obtinem o forma simetrica triliniara C(X,Y,Z)=( h)(Y,Z), care
este numita forma cubica pentru M .
Ecuatia lui Codazzi pentru S :
(2.3)
Ecuatia lui Ricci :
(2.4)
Facem citeva observatii.
1. Daca R=0, atunci S=0. Opusul este evident.
De fapt, fie X 0. Daca h(X,X) 0, putem presupune ³h(X,X)³=1 si luam Z asa
incit ³h(Z,Z)³=1 si h(X,Z)=0. Acum luam Y=Z in ecuatia lui Gauss :
de unde SX = 0.
Daca h(X,X)=0, luam Y asa incit h(X,Y)=1 si h(Y,Y)=0. Punind Z=X in ecuatia lui
Gauss obtinem h(Y,X)SX=0, asa ca avem iar SX=0.
2. Mai general, S este determinat unic de h si R. Aceasta poate fi demonstrat
de argumente similare cu 1. (sau presupunind ca este un alt S' satisfacind
ecuatia lui Gauss, aplicam argumentele din 1. pentru S-S').
3. Daca S=0, normalele afine sunt paralele intre ele in R .M este numit o
hipersfera improprie afina.
4. Presupunind S= I, unde este o functie si I transformarea identica.
(Spunem ca M este 'umbilical' (?) afin) Atunci ecuatia lui Codazzi pentru S
implica ca este o functie constanta. Daca 0, atunci M este numit o sfera
afina proprie. Toate liniile din punctele lui M in directia lui se intilnesc
intr-un punct, centrul hipersferei proprii afine.
5. Tensorul lui Ricci pentru este dat de
Ric(Y,Z)=
Daca Ric=0, aceasta ecuatie implica S=0 si, imediat, R=0 din 1.
H=urma lui S/n este numit curbura medie afina. K=det S este numita curbura
(Gauss-Kroneker) afina.
6. Fie dim M ò 3. Atunci ecuatia lui Gauss si ecuatia lui Codazzi pentru h
implica ecuatia lui Codazzi pentru S. Pentru a demonstra aceasta, luam de
ambele parti ale ecuatiei lui Gauss si scriem cea de-a doua egalitate a lui
Bianchi :
Dupa citeva anulari folosind ecuatia lui Codazzi pentru h obtinem
Acum dindu-se X si Y, alegem Z asa incit h(X,Z)=h(Y,Z)=0 si h(Z,Z)=ñ1 si fie W=Z
in ecuatia de mai sus. Obtinem ( S)(Y)-( S)(X)=0.
3. Graficul unei functii
Fie x =F(x ,, x ) o functie pe un domeniu G din R si consideram
reprezentarea grafica (?)
(3.1)
Dorim sa gasim normala afina pentru aceasta hipersuprafata sub conditia
(3.2)
unde F =
Incepem cu o alegere evidenta a cimpului transversal = (0,,0,1). Avem
unde 1 apare ca al j-lea component si F = . De aici
adica
(3.3) si
De asemenea asa ca
Vedem ca f defineste o hipersuprafata nedegenerata daca si numai daca det[F ] 0
Acum vom gasi H=H dupa cum urmeaza. De vreme ce avem
é(
obtinem
h =
asa incit
(3.4)
Acum dorim sa gasim un cimp vectorial Z asa incit
pentru toate cimpurile vectoriale X.
Scriem Z = ä si luam X= . Atunci
Fie [F ] matricea inversa pentru [F ]. Atunci obtinem
Normala afina este atunci
(3.5)
Exemplu. Pentru graficul lui x =äa x x, unde [a ] este o matrice constanta
cu determinantul nenul H, avem = . De aceea operatorul de forma S
este 0 si conexiunea indusa este plata (plana).
Observatie. Exista teorema lui J"rgens [J] care spune ca daca F(x ,,x ) este
o functie diferentiabila pentru intregul R asa incit det [F ] este o constanta
pozitiva, atunci F este o functie patratica. Aceasta teorema are aplicatii in
teoria suprafetelor.
Exista o generalizare a acestui rezultat din punctul de vedere al geometriei
diferentiale afine facuta de Calabi in [Ca 1]. De vazut de asemenea [Sp] pentru
alte aplicatii ale teoremei lui J"rgens.
4. Forma cubica si apolaritatea
Fie M o hipersuprafata nedegenerata in R . Consideram conexiunea Levi-Civita
pentru metrica afina h si studiem diferenta intre si conexiunea determinata
Notam tensorul diferenta prin K :
(4.1)
si scriem de asemenea
(4.2)
care este simetric in X si Y.
Propozitia 4.1. K corespunde lui -(1/2)( h) relativ la metrica h, ceea ce
inseamna
(4.3)
Demonstratie. Aplicam derivata (derivarea ?) = +K pe h si obtinem =K h.
Atunci obtinem
(4.4)
Aici ( h)(Y,Z) este simetric in X,Y si Z dupa cum stim deja, si h(K Y,Z) este
simetric in X si Y. De aici deducem ca h(Y, K Z) este simetric in X si Y, ca si
in X si Z, adica in X, Y si Z. Din (1) obtinem :
Corolar. Conexiunea determinata si conexiunea Levi-Civita pentru metrica
afina coincid daca si numai daca K=0, adica daca si numai daca h=0.
Vom vedea mai tirziu ca aceasta se intimpla daca si numai daca M este o
hipersuprafata patratica.
Propozitia 4.2. (Apolaritatea)
(4.5) urma K =0 pentru fiecare vector tangent X.
Demonstratie. Aplicind derivatia (?) elementului de volum é=
obtinem
0=
care implica urma K =0.
Observatie. Potrivit notatiei cu indecsi pentru tensori, scriem h=(h ),
(h )=(h ) , si h=(h ). Atunci urma K =0 poate fi scrisa ca
ä
5. Inca niste ecuatii
Putem sa investigam mai departe legatura dintre tensorul de curbura R al
conexiunii determinate si tensorul de curbura al conexiunii Levi-Civita
pentru metrica afina h.
Propozitia 5.1.
(5.1)
(5.2)
Demonstratie. Pentru a obtine (5.1) calculam R(X,Y)= folosind (4.2)
si scriind
si de asemenea
Din (5.2) si ecuatia lui Gauss avem
Introducind pe rind Z si W in aceasta ecuatie si observind ca si
sunt operatori simetrici fata de h, obtinem
De aici rezulta direct (5.2).
Observatie. Ecuatia (5.2) este aceeasi ca si (13), p.136 in [Sch].
Propozitia 5.2. Tensorul Ricci pentru metrica afina h este dat de
(5.3)
unde urma(K K )=h(K ,K ) (produsul interior extinzind pe h la spatiul tensor de
tipul (1,1)).
Demonstratie. Luam urma folosind (5.1) si scriind
deoarece si urma K =0 (din apolaritate).
Observatie. Formula noastra (5.3) este aceeasi cu (2.22) in scrierile lui
Schneider [Schn] si cu (3.18) in scrierile lui Calabi [Ca 2].
Propozitia 5.3. Curbura scalara a metricii afine este data de
(5.4)
Demonstratie. Rezulta imediat din (5.3).
Observatie. H=urma S/n este curbura afina medie, dupa cum a fost deja
definita. J=h(K,K) este numit invariantul Pick. (5.4) este aceeasi cu formula
lui Schneider de pe rindul 2, p.404 din cartea [Schn] si formula lui Calabi (3.
19) in [Ca2]. A se vedea de asemenea cartea lui Blashe [Bla], p.158.
Pentru n=2, , unde X este curbura pentru h. De aici obtinem
(5.5)
care este in esenta aceeasi cu (14), p.136 din [Sch].
Derivam inca o ecuatie.
Fie L forma biliniara simetrica
(5.6)
Dorim sa demonstram
Propozitia 5.4.
(5.7)
Demonstratie. Intorcindu-ne in ecuatia din demonstratia Propozitiei 5.1 :
Insumind aceasta ecuatie si ecuatia obtinuta schimbind Z cu W obtinem
Eliminind W scriem
Acum, luind urma hartii (?) Y de mai sus, obtinem (5.7) in virtutea urmei
=0, care poate fi stabilita dupa cum urmeaza.
Din K Z=Z Y avem . De unde
folosind apolaritatea de doua ori.
Observatie. (5.7) este aceeasi cu (2.24) din [Schn]. Tensorul L este acelasi
cu in (15), p.136, in [Sch]. De remarcat ca (5.4) determina
H in mod unic din h si K, si (5.7) determina S. De aici h si C= h determina H si
S in mod unic.
6. Teorema lui Pick si Berwald
Vom demonstra in cele ce urmeaza rezultatul clasic [Ber] pentru o
hipersuprafata nedegenerata.
Teorema 6.1. Fie f:M R o hipersuprafata nedegenerata. Presupunem ca forma
cubica este identica cu 0. Atunci f(M ) se intinde de-a lungul unei
hipersuprafete patratice.
Demonstratie. Vom arata mai intii ca f este 'umbilical' (?), adica S= I, unde
este o constanta. Deoarece h=0, avem R(X,Y)ùh=0 pentru orice X,YiT (M), unde
R(X,Y) joaca rolul unei derivate. De aceea h(R(X,Y)Y,Y)=0. Folosind ecuatia lui
Gauss obtinem
h(Y,Y)h(SX,Y)=h(X,Y)h(SY,Y).
Fie o baza ortonormata pentru metrica afina in T (M): ,
unde . Atunci si
De aici rezulta ca exista scalari asa incit
Vom arata mai departe ca toti sunt egali intre ei. Fie i j. Atunci
este diferit de 0 relativ la h. Putem sa il normalizam si sa il extindem la o
baza ortonormala in T (M). Din ceea ce am aratat, avem SZ= Z pentru anumiti
scalari . Pe de alta parte, avem SZ=
Din independenta liniara obtinem .
Acum putem scrie S= pe M , unde este o functie scalara. Din ecuatia lui
Codazzi pentru S, deducem ca este o functie constanta.
Putem acum sa definim un cimp tensor g de tipul (0,2) de-a lungul scufundarii
(?) f dupa cum urmeaza. Pentru fiecare xiM , g este o functie biliniara
simetrica pe T determinata de
(6.1) , unde este normala afina (afin normal ?)
Vom demonstra ca g este paralel in R , adica
(6.2)
pentru orice XiT (M ) si pentru orice cimpuri vectoriale U si V de-a lungul lui
f. Considerma trei cazuri:
Cazul (i): U= ,V= , unde Y si Z sunt cimpuri vectoriale pe M . Atunci
si , asa ca (6.2) este corecta.
Cazul (ii): U= ,V= . Atunci X (U,V)=0.
si
asa ca (6.2) este corecta.
Cazul (iii): U=V= . Avem
Apoi definim o l-forma de-a lungul lui f punind
(6.3)
unde f(x) semnifica vectorul de pozitie al punctului imagine f(x).
Din nou aratam ca este paralel in R . Daca Y este un cimp vectorial in M ,
atunci
asa ca
Analog,
De aici este paralel in R . Aceasta inseamna ca este dat de un covector a
(in spatiul dual R al spatiului vectorial R ), ceea ce inseamna ca
pentru orice vector din R . Putem gasi o functie afina pe R in asa fel incit
. Putem de asemenea sa presupunem ca intr-un punct x in M
, unde este definit de
Acum incit
Mai departe pe M . Aceasta inseamna ca f(M ) se gaseste intr-o
hipersuprafata patratica.
Observatia 1. Pentru orice sistem de coordonate afine putem scrie
asa incit este o ecuatie pentru o hipersuprafata patratica.
Observatia 2. Teorema 6.1 este generalizata in [NP 2].
7. Scufundari conormale
Fie f:M R o hipersuprafata nedegenerata cu normala afina . Indicam prin
R spatiul vectorial dual spatiului vectorial R aflat la baza spatiului afin
R . Definim o cartografiere (mapare ?) v:M R dupa cum urmeaza.
Pentru fiecare xiM, v este un element din R identificindu-se evident cu un
element din spatiul dual al lui T (R ) asa incit
(7.1)
Numim v conormala afina. Simbolizind prin D conexiunea plata (canonica ?)
obisnuita in R , avem
(7.2) si pentru toate x,YiT (M).
Intr-adevar, din =1 obtinem
De asemenea, din , unde X este orice cimp vectorial, obtinem
Lema. Maparea conormala v este o scufundare a lui M in R .
Demonstratie. De remarcat ca pentru orice . De aici,
daca , atunci din (7.2) avem h(Y,X)=0 pentru fiecare xiT (M). Deoarece h
este nedegenerata, obtinem Y=0.
Pentru fiecare xiM, v este transversal hipersuprafetei v(M), fiindca
dar (cu XiT (M)) satisface . In continuare, consideram v:M
o hipersuprafata centrala luind v ca un cimp vectorial transversal :
. Scriem
(7.3)
unde este conexiunea afina determinata pe M de v si h este forma afina
fundamentala pentru v. (Aici este permis ca h sa fie nedegenerata).
Propozitia 7.1 Avem
(7.4) pentru toate
(7.5) pentru orice cimpuri vectoriale Y si Z
in M si XiT (M). (Exprimam aceasta proprietate spunind ca este conjugata cu
fata de h.)
(7.6) pentru orice cimpuri vectoriale X si Y in M
Demonstratie. Din obtinem
Deoarece , din (7.2) avem
Pe de alta parte, din (7.3) si (7.2) avem
De aici avem (7.4).
Pentru a demonstra (7.5) incepem cu ca in
(7.2). Avem
Aici din (7.2) si
Din acestea obtinem
Schimbind intre ele Y si Z obtinem (7.5).
Folosind (7.5) obtinem
Pe de alta parte, avem
Aceasta implica
care implica la rindul ei (7.6).
Observatie. (7.5) si (7.6) apar ca (21), p.127 si (28), p.129 in [Sch].
Acestia au denumit conexiunea afina de primul tip si conexiunea afina de
tipul doi (de speta a II-a). si coincid daca si numai daca , ceea ce
inseamna daca si numai daca . Stim deja ca aceasta implica faptul ca M este o
hipersuprafata patratica.
Vom discuta acum o aplicatie geometrica a conormalei afine in problema
granitei umbra (?). De dragul simplitatii discutam despre suprafete in R .
Fie M o suprafata nedegenerata in R . O curba x pe M este denumita granita
umbra pentru o iluminare paralela in directia unui vector a daca o linie prin
fiecare punct x in directia lui a este tangenta la M in x , asa incit cilindrul
dus prin curba x cu generatoarea paralela cu a este tangent la M de-a lungul
lui x . Vom demonstra acum
Propozitia 7.1. Fie M o suprafata nedegenerata inclusa in R . O curba x pe M
este o granita umbra daca si numai daca este pregeodezica fata de conexiunea .
Demonstratie. O curba x este pre-geodezica pentru daca si numai daca
. (Geometric semnifica faptul ca linia de cimp tangenta este paralela
de-a lungul curbei. In acest caz putem reparametriza curba asa incit sa avem
Acum, folosind conormala afina v punem v =v(x ) asa incit . Apoi
luam
unde . Dupa aceea luam o ecuatie diferentiala liniara de gradul II
(7.7)
De aici obtinem
unde à si á sunt anumiti covectori constanti.
Luam un vector aiR asa incit . Deoarece pentru fiecare t,
rezulta ca a este tangent la M in x .
Reciproc, presupunem ca x este o granita umbra pentru o iluminare paralela
in directia lui a. Atunci, pentru v =v(x ) avem v (a)=0, deoarece este tangent
la M in x . Atunci . De aici covectorii v ,
dv/dt si d v/d t sunt dependenti liniar. De aici avem ecuatia (7.7), care
implica , adica x este o pre-geodezica pentru .
In continuare vom da o caracterizare a cuadricei in termenii granitelor
umbra, fara demonstratie.
Propozitia 7.3 Fie M o suprafata nedegenerata in R . Daca fiecare granita
umbra este o curba plana, atunci M este o cuadrica.
Vom demonstra aici urmatoarea versiune a rezultatului (Satz 3.3, (b)) dupa
Simon [Si 1].
Ne amintim ca doua conexiuni afine invariante la rotatie si sunt numite
echivalente proiectiv (?) daca si numai daca au aceeasi familie de curbe ca
si pre-geodezice.
Propozitia 7.4. Fie M o hipersuprafata in R . Daca conexiunile afine si
sunt echivalente proiectiv, atunci M este (parte a unei) cuadrice.
Demonstratie. Din (7.5) si (7.8) obtinem
ceea ce inseamna
(7.9)
De vreme ce partea stinga este simetrica in X si Y din ecuatia lui Codazzi,
obtinem . Deoarece h este nedegenerata, aceasta implica
. Aceasta fiind adevarat pentru orice X si Y, tragem concluzia ca =0.
De aici si . Rezulta ca M este (parte a unei) hipersuprafata
patratica.
8. Suprafete afine homogene
O suprafata nedegenerata M in R este numita homogena daca este un subgrup
Lie G din grupul tuturor transformarilor afine A(3)=SL(3,R)ùR asa incit M este
orbita unui anume punct din G. Suprafetele afine homogene sunt clasificate, pina
la o transformare afina, de ex. in capitolul 12 din [G].
Aici vom descrie toate suprafete impreuna cu grupurile corespunzatoare. O
suprafata afina este eliptica sau hiperbolica dupa cum metrica afina h este
pozitiv definita sau nu.
Exemplul 8.1. Cuadrice.
1) elipsoidul: , care este orbita lui t(1,0,0) din SO(3).
2) hiperboloidul cu o pinza: , care este orbita lui t(1,0,0)
din SO (2,1).
3) hiperboloidul cu doua pinze: , care este orbita lui t(0,0,
1) din SO (2,1).
4) paraboloidul eliptic: , care este orbita originii t(0,0,
0) din grupul tuturor matricilor de forma
5) paraboloidul hiperbolic: , care este orbita originii din
grupul matricilor ca mai sus, unde cos(t) si sin(t) sunt inlocuite de cosh(t) si
sinh(t) si prin
Exemplul 8.2. Suprafete eliptice
i) , care daca este orbita punctului t(1,1,1) din grupul
tuturor matricilor de forma
Aceasta este o sfera afina cu centrul in origine.
ii) , echivalent cu
Aceasta este orbita lui t(«,1,0) din grupul tuturor matricilor de forma
Exemplul 8.3. Suprafete hiperbolice
i) . Aceasta este orbita lui t(1,0,1) din
grupul tuturor matricilor de forma
ii) . Aceasta este orbita lui t(0,1,1) din
grupul tuturor matricilor de forma
Exemplul 8.4. Suprafete de rotatie , numita suprafata
Cayley, care este orbita originii din grupul tuturor matricilor de forma
Aceasta este o sfera afina improprie (de unde avem conexiunea determinata
este plana cu x,y coordonate plane pe suprafata). Din calcul, toate =0, in
afara de . De aici dar . Linia (t,0,0) este continuta in
suprafata, la fel ca si liniile
Din orice punct p=( ) care nu este pe suprafata, orbita pentru acelasi
grup este multimea tuturor punctelor (u,v,w), unde
Obtinem
De aici orbita lui p este obtinuta din suprafata originala printr-o translatie
, unde c=
Un rezultat recent arata ca o suprafata afina nedegenerata in R care
satisface si este fundamental congruenta cu (o parte) suprafata Cayley
printr-o transformare afina speciala a lui R . A se vedea [NP 3].
9. Laplacianul distantei afine si armonicitatea maparii conormale
Fie M o hipersuprafata nedegenerata inclusa in R si identificam fiecare
punct din R cu vectorul sau de pozitie (dintr-un anumit punct fix 0).
Luam un punct p in R . Pentru orice punct xiM scriem
(9.1)
unde este normala afina. Daca folosim conormalul afin v introdus in sectiunea
7, obtinem din (9.1)
(9.2)
Acest numar este definit ca distanta afina de la p la x. Fixind p in R ,
consideram distanta afina v(x-p) ca o functie pe M.
Propozitia 9.1. Pentru un punct dat p in R , functia v(x-p) pe M are un
punct de extrem in uiM daca si numai daca vectorul up este in directia normalei
afine .
Demonstratie. Din (9.1) avem pentru orice XiT (M)
si
(9.3) si
Presupunem ca are un punct de extrem in x=u. Apoi pentru
fiecare XiT (M). Din (9.3) obtinem h(X,Z)=0. Aceasta conduce la Z=0 asa incit
u-v= , ceea ce inseamna ca up este in directia lui .
Reciproc, presupunem ca up este in directia lui .Calculind (9.3) in u tragem
concluzia ca Z=0 si pentru fiecare XiT (M). De aici v(x-p) are un extrem
in x=u.
Acum consideram distanta afina din originea o la xiM, care este exprimata de
. Mai definim un cimp vectorial prin
(9.4)
Amintiti-va ca Laplacianul pentru orice functie continua pe M relativ la
o metrica nedegenerata (in cazul nostru, metrica afina h) este definit de
unde grad este cimpul vectorial asa incit pentru orice cimp
vectorial Y, si . De remarcat, totusi, ca in
aceasta ultima ecuatie, poate fi inlocuit de in virtutea
si apolaritatea :
Propozitia 9.2. Pentru functia definita in (9.4) avem
(9.5) , unde H este curbura afina medie.
Demonstratie. Din a doua ecuatie in (9.3) observam ca Z=-grad . Din prima
ecuatie obtinem . De aici rezulta (9.5).
Observatie. Daca definim o (n-1) forma pe M, adica
atunci
(9.6)
Teorema 9.3 Daca o hipersuprafata nedegenerata M este compact, atunci curbura
medie afina nu poate fi nula.
Demonstratie. Daca H este nul, atunci sau, echivalent, . Din
teorema lui Stokes, obtinem , sau, echivalent, ceea ce duce
la contradictie.
Acest rezultat este gasit in [Ch]. Pentru teorema lui Stokes, a se vedea
[KN], pp.281-3. Exista inca o cantitate (?) geometrica strins legata de curbura
medie afina. Fie v:M R maparea conormala pentru o hipersuprafata nedegenerata
f:M R . Dorim sa calculam cimpul de tensiuni pentru maparea v (fata de
metrica afina h).
Sa ne amintim definitia unui cimp de tensiuni pentru o mapare, sa spunem,
dintr-un multiplu (M,g), unde g este o metrica arbitrara riemaniana sau
pseudo-riemaniana (cu conexiunea Levi-Civita ) intr-un multiplu M cu o
conexiune invarianta la rotatii . Pentru cimpurile vectoriale X si Y pe M,
consideram
care poate fi usor verificata daca este intinsa (?), adica valoarea (in )
depinde numai de X si Y . Acest este Hessianul pentru fata de ( , ). Acum
cimpul de tensiuni este definit ca urma lui fata de metrica g, adica, daca
este o baza ortonormala fata de g in T (M) cu
atunci
Aceasta este independenta de alegerea bazei ortonormale. Daca alegem o baza
arbitrara si componentele lui g sunt (g ), atunci
unde [g ] este inversa matricii [g ].
Maparea este numita armonica daca dispare peste tot (hau ?). Acum, sa ne
intoarcem la maparea conormala si sa demonstram urmatorul rezultat:
Propozitia 9.4. Curbura medie afina a unei hipersuprafete nedegenerate M in R
este 0 daca si numai daca maparea conormala v:M R este armonica.
Demonstratie. Din sectiunile 4 si 7 stim ca
unde este conexiunea determinata pe M, conexiunea conjugata (determinata de
maparea conormala), si conexiunea Levi-Civita pentru metrica afina h. Pentru
maparea conormala v Hessianul (fata de conexiunea plana D in R si de
conexiunea ) este dat de
in baza (7.3) si (7.4). Pentru a lua urma (bip ?) lui H , fie orice
baza si fie [h ] si [h ] matricele componente pentru h si inversa sa. Atunci
De asemenea avem
folosind propozitiile 4.1 si 4.2 (vedeti observatia de dupa propozitia 4.2,
adica ). Mai departe
Cimpul de tensiuni al lui v este
din care afirmatia din propozitia 9.4 este evidenta.
Putem de asemenea obtine teorema 9.3 din propozitia 9.4 folosind faptul ca
daca M este compact, atunci maparea armonica v:M R trebuie sa fie o constanta,
in ciuda faptului ca v este o scufundare (?).
Observatie. Propozitia 9.4 exista in [Ca 3] pentru suprafete afine strict
convexe local.
10. Un exemplu: SL(n,R)/SO(n)
Scriem prin s(n) spatiul vectorial al tuturor matricilor simetrice de grad n.
Definim o mapare f:GL(n,R) s(n) prin
(10.1)
si o actiune a lui GL(n,R) pe s(n) prin
(10.2)
Maparea f este echivarianta in sensul ca
(10.3)
Este usor de verificat ca imaginea f(GL(n,R)) coincide cu multimea p(n)
formata din toate matricile pozitiv-definite in s(n). p(n) este o submultime
deschisa legata al lui s(n). Este de asemenea cunoscut ca maparea exponentiala X
exp X da un difeomorfism al lui s(n) in p(n).
Limitam acum f si la subgrupul SL(n,R) al lui GL(n,R). Imaginea f(SL(n,R))
coincide cu p (n)= , care este de asemenea egala cu orbita
matricii identitate I prin actiunea . Grupul de izotropie in I este egal cu
SO(n) asa incit . Este stiut ca exista un spatiu homogen simetric
unde automorfismul involutiv al lui SL(n,R) este A .
Acum consideram s(n) ca un spatiu vectorial sau un spatiu centro-afin. Acesta
are un element de volum invariant cu SL(n,R) actionind asupra sa prin in (10.2)
Pentru hipersuprafata inclusa , luam vectorii de pozitie
ca vectori transversali: pentru fiecare alegem AiSL(n,R), asa
incit , unde a este proiectia lui , si
fie , privit ca un vector de pozitie, care depinde numai de p.
Pentru SL(n,R)/SO(n), spatiul sau tangent in poate fi reprezentat
prin subspatiul , asa incit , unde o(n)
este algebra Lie pentru SO(n). Pentru fiecare Xim , avem ca vector
tangent in I la s(n). Acum, fie si sa definim cimpul vectorial de-a
lungul prin . Atunci si
Din acestea deducem
(10.4)
si
(10.5)
Deoarece , si sunt invarianti fata de actiunea lui SL(n,R), rezulta ca
este afin normal, h in (10.4) este expresia pe m a metricii afine invariante
fata de SL(n,R), si in (10.5) este expresia pe m a conexiunii afine
determinate, care este de asemenea invarianta fata de SL(n,R). Rezulta de
asemenea ca hipersuprafata noastra este intr-adevar o hipersfera. Vezi [Sa].
Deoarece grupul de izotropie liniara Ad(SO(n)) pe m este ireductibil,
rezulta ca metrica naturala invarianta Riemann pentru spatiul simetric SL(n,
R)/SO(n) coincide cu metrica invarianta afina pina la un factor scalar. De fapt,
cel dintii este restrictia la m a formei Killing-Cartan din algebra Lie sl(n,R)
adica 2n urma XY. Aceasta inseamna ca prin potrivirea alegerii lui printr-un
factor constant, putem face ca metrica afina sa coincida cu metrica naturala
invarianta Riemanniana pe SL(n,R)/SO(n). Conexiunea Levi-Civita a acestei
metrici este exprimata pe m prin . In particular,
Pentru n=2, observam ca . In acest caz SL(2,R)/SO(2) (planul hiperbolic)
este inclus in s(2)=R ca o componenta a hiperboloidului cu doua pinze (deci o
cuadrica).
Observatia 1. Putem scrie p(n) ca un spatiu homogen GL (n,R)/SO(n), care poate
fi inzestrat cu o metrica invarianta Riemanniana. Incluziunea naturala a lui
SL(n,R)/SO(n) in GL (n,R)/SO(n) este echivarianta si izometrica. Daca consideram
pe primul ca o hipersuprafata afina in cel de-al doilea, ce proprietati are ?
Observatia 2. Spatiul p(n) poate fi descompus intr-o reuniune de
hipersuprafete p (n) fiind compuse din matrici pozitiv definite cu determinantul
>0.
11. Hipersuprafete simetrice local
In exemplul lui SL(n,R)/SO(n) ca o hipersuprafata afina, metrica afina care
coincide cu metrica obisnuita invarianta Riemann este local simetrica, adica .
Urmatoarea teorema ce se refera la hipersuprafete afine de tipul a fost
demonstrata in [VV].
Teorema 11.1 Fie M o hipersuprafata nedegenerata in R , nò3. Atunci M este
local simetric afina, adica R=0, daca si numai daca M este o hipersfera afina
improprie sau o hipersuprafata patratica nedegenerata.
Esenta acestei demonstratii este de a arata urmatoarele : O hipersuprafata
nedegenerata M in R satisface R(X,Y)ùR=0 (adica derivarea R(X,Y) mapeaza pe R
in 0 pentru oricare vectori tangenti X si Y), daca si numai daca M este o
hipersfera afina. Odata ce aceasta a fost demonstrat, atunci R=0, care implica
R(X,Y)ùR=0 va da S= I, unde este o constanta. Atunci ecuatia lui Gauss si R=0
implica h=0.
Observatie. Fiecare suprafata M in R satisface R(X,Y)ùR=0.
DESPRE GEOMETRIA IMERSIILOR AFINE KZHLER
In aceasta lucrare extindem munca asupra imersiilor afine [N-Pi]-1 la cazul
imersiilor afine intre variatii complexe si se afla la baza geometriei
imersiilor afine K"hler. Notiunea de imersie afina K"hler o extinde pe aceea a
imersiilor olomorfe si isometrice intre variatii K"hler si poate fi privita ca
un contrast fata de notiunea de imersii olomorfe (olomorfice?) afine care a fost
definita in lucrarile lui Dillen, Vrancken si Verstraelen [D-V-V] si in cea a
lui Abe [A].
In partea I vom prezenta substratul pentru imersii afine complexe, si in par-
tile II si III vom prezenta substratul pentru imersii afine K"hler. Vom da doua
formulari paralele, una in termenii cimpurilor vectoriale reale si alta in
termenii cimpurilor vectoriale de tipul (1,0). Cea dintii este folositoare in
stabilirea teoremei fundamentale pentru imersii afine K"hler dupa cum vom vedea
in sectiunea IV. Cea de-a doua este folositoare pentru obtinerea de exemple de
variatii complexe cu conexiuni afine K"hler, dupa cum a fost facut in [N-Po], si
in obtinerea, in capitolele 5 si 6, a mai multor teoreme despre imersiile afine
K"hler in spatiul Euclidian complex, incluzind o analogie a teoremei clasice a
lui Pick si Berwald a formelor cubice 'vanishing' (to vanish = a disparea).
Cap. 1 Conexiuni complexe si imersii afine
Fie M o variatie complexa n-dimensionala cu o structura complexa J.
Consideram o conexiune liniara libera de rotatii care este compatibila cu J,
adica J=0. Acest gen de conexiune ca o diferentiere covarianta
cu proprietatile uzuale poate fi extinsa la o conexiune complexa liniara cu
diferentierea covarianta
unde X este spatiul tuturor cimpurilor vectoriale X+iY cu X,YiX.
Avem atunci
Scriem (respectiv ) pentru multimea tuturor cimpurilor vectoriale
de tipul (1,0) (respectiv (0,1)). Deoarece este compatibil cu J, rezulta ca ,
unde ZiX mapeaza fiecare X si X in acelasi punct (in sine insusi). Reciproc,
poate fi verificat ca o conexiune complexa liniara libera la rotatii cu aceste
proprietati provine dintr-o conexiune liniara libera la rotatii compatibila cu
J. In cele ce urmeaza, vom considera intotdeauna acest tip de conexiune liniara
exprimata in termenii cimpurilor vectoriale reale sau cimpurilor vectoriale
complexe.
Vom spune ca este afin K"hler daca tensorul sau de curbura are proprietatea
R(JX,JY)=R(X,Y) pentru toate X,YiX.
Aceasta conditie este echivalenta cu
R(Z,W)=0 pentru toate Z,WiX
Conexiunile afine K"hler trebuie privite ca fiind in contrast cu conexiunile
olomorfice (olomorfe?) al caror tensor de curbare satisface
R(JX,Y)=JR(X,Y) pentru toate X,YiX
sau echivalent
R(Z,W)=0 pentru toate Z,WiX
Vom considera acum o variatie complexa (n+1) dimensionala M cu o conexiune
afina invarianta la rotatie compatibila cu structura complexa J. Fie f:M M o
imersie olomorfa; dorim sa ne gindim la modalitatea de a induce o conexiune
afina pe M, pe care o vom simboliza de asemenea prin J.
Mai intii in termenii cimpurilor vectoriale reale, alegem un cimp vectorial
real transversal la M. Atunci J este de asemenea transversal. De aici putem
scrie pentru vectorii X si Y pe M
(1.1)
prin aceasta definind o conexiune afina invarianta la rotatii si tensorii
simetrici covarianti h si k pe M. Deoarece f este olomorfa, avem
(1.2)
si din obtinem ca si
(1.3)
Deoarece k si h sunt amindoi simetrici, avem
(1.4)
Vom scrie de asemenea
(1.5)
prin aceasta definind un tensor (1,1) A si doua 1-forme si pe M. Obtinem
(1.6)
Vom gasi acum formule in termenii cimpurilor vectoriale complexe. Pentru X,YiX,
scriem Z=X-iJX si W=Y-iJY. Expandam si simplificam
(1.7)
folosind (1.1)-(1.4). Componenta tangentiala a (1.7) este egala cu
(1.8)
Componenta transversala a (1.7) poate fi exprimata in forma
(1.9)
Introducem un cimp vectorial transversal (1,0)
(1.10)
Prelungind h ca o functie complexa biliniara pe vectorii complecsi tangenti avem
(1.11)
Folosind (1.10) si (1.11) putem rescrie componenta transversala (1.9) in forma
(1.9')
Din (1.7), (1.8) si (1.9') obtinem
(1.12)
Acum calculam si gasim
(1.13)
fara componenta transversala in partea dreapta. Aceasta corespunde la
(1.14)
care poate fi verificat direct pentru extensia complexa h.
De asemenea remarcam ca, pentru orice vectori complecsi Z si W in general,
h(Z,W) este conjugata lui h(Z,W), este conjugatul lui , si avem formulele
conjugate la (1.12), (1.13) si (1.14).
Acum lucram cu versiunile complexe ale (1.5) si (1.6). Din calcul obtinem
in asa fel ca
(1.15)
unde
(1.16)
Pe de alta parte avem
(1.17)
(1.18)
(1.19)
unde prin definitie
(1.20)
Vedem cu usurinta ca (virgula!) conjugata lui S(Z) este S(Z) si conjugata lui
este .
Cap. 2 Cimpuri vectoriale transversale anti-olomorfe si imersii afine K"hler
Ne amintim aici ca in un cimp vectorial in este numit
olomorf sau anti-olomorf daca fiecare functie este olomorfa sau
anti-olomorfa. Notiunea de cimp vectorial olomorf poate, desigur, sa fie
extinsa la cazul unei variatii complexe arbitrare, dar nu acelasi lucru se
intimpla si pentru cimpurile vectoriale anti-olomorfe. Vom da urmatoarea
definitie.
Fie M o variatie complexa cu o conexiune afina invarianta la rotatii
compatibila cu structura complexa J. Vom spune ca un cimp vectorial de tipul
(1,0) este anti-olomorf daca pentru orice vector tangent de tipul (1,
0). Daca este anti-olomorf si daca este o functie anti-olomorfa, atunci
este anti-olomorfa. Multimea cimpurilor vectoriale de tipul (0,1)
formeaza un spatiu vectorial peste C si pentru C aceasta notiune coincide cu
cea evidenta.
Fie si Z=X-iJK, unde si X sunt cimpuri vectoriale reale; atunci
este zero daca si numai daca
De aceea avem urmatoarea caracterizare:
(2.1) este anti-olomorfa daca si numai daca pentru fiecare X
Aceasta poate fi comparata cu binecunoscutul fapt ca este olomorfa daca si
numai daca pentru fiecare X, care poate fi reformulata: daca si
numai daca pentru fiecare X.
Pentru imersia complexa f:M M un cimp vectorial (1,0) de-a lungul lui f
este numit anti-olomorf daca pentru fiecare cimp vectorial (1,0) Z
pe M.
Observatie. Toata munca de pina acum asupra geometriei diferentiale afine a
hipersuprafetelor complexe depinde de alegerea unui cimp vectorial transversal
(vezi [DFV]). Totusi stim ca aceasta premisa nu 'tine' in cazul
hipersuprafetelor K"hler; adica daca f:M M este o imersie olomorfa a unei
variatii K"hler a lui M in M, atunci alegerea unui cimp vectorial transversal
olomorf (1,0) duce la o conexiune olomorfa pe M, care nu este in concordanta
cu conexiunea din metrica K"hleriana indusa, in afara cazului in care este
plata. Pe de alta parte, pentru orice hipersuprafata K"hler putem alege un cimp
vectorial anti-olomorf transversal (1,0).
Presupunem acum ca am ales un cimp vectorial transversal anti-olomorf (1,0)
de-a lungul lui f. Cu aceasta alegere numim f o imersie afina K"hler. Avem ca
dar din (2.1) aceasta este egal cu
asa incit pentru fiecare X avem
(2.2) (2.3)
De fapt, (2.2) si (2.3) sun necesare si suficiente pentru ca sa fie
antiolomorfic.
Cap. 3 Tensori de curbura pe hipersuprafete in C
De aici inainte vom presupune ca luam un cimp vectorial transversal (1,0)
antiolomorfic pentru imersia noastra f. Derivam ecuatiile de baza pentru
geometria hipersuprafetelor complexe in C . Trecem in revista formulele de
baza (fara a scrie f acolo unde nu este nici un pericol de confuzie si scriind
D pentru diferentierea covarianta in C ); X,Y,Z,W vor fi (1,0) cimpuri
vectoriale pe M :
(Ia) si conjugata sa,
(Ib) si conjugata sa.
Deoarece h este definit pe toti vectorii complecsi, nu este nimic mai mult decit
(Ic)
(IIa) si conjugata sa,
(IIb) si conjugata sa.
Este de folos sa notam ca
(IIc)
Pentru a fi siguri, conjugata lui (IIb) se citeste
unde S si S sunt legate prin
si si sunt legate prin
Calculam acum tensorul de curbura al lui . Folosind (Ia) si (IIa) avem
si o ecuatie similara in care X si Y sunt permutati. De asemenea
Din aceste ecuatii obtinem
De aceea
(3.1)
(3.2)
Avem de asemenea conjugatele acestor ecuatii. Acum avem, folosind (Ib) si (IIb)
si
Din aceste ecuatii obtinem
unde
din (Ic), deoarece este de tipul (0,1). De aici obtinem
(3.3)
(3.4)
Ecuatiile conjugate se citesc
(3.5)
(3.6)
Apoi avem
deoarece h(X, )=0 din (Ic). Mai mult
din nou folosind faptul ca [X,Y] si . Din aceste ecuatii obtinem
(3.6)
Ecuatia conjugata se citeste
(3.7)
Pentru hipersuprafata noastra complexa rezumam
Ecuatia lui Gauss si Codazzi
(IIIa) pentru ca si pentru
(IIIb) pentru , si conjugata sa, adica
pentru
Observatie. (IIIa) reflecta acelasi gen de proprietate ca tensorul de curbura al
unei conexiuni k"hleriene, adica ecuatia (18), p. 157 in [K-N], vol. II.
Va trebui sa mai derivam citeva ecuatii de baza.
Avem din (IIb) si (IIc)
si
Deoarece , unde si , avem
De aceea avem
si de aici pentru X,Y
(3.8)
si conjugata sa
(3.9)
Avem de asemenea
(3.10)
si conjugata sa
(3.11)
Acelasi tip de calcule pentru duce la
(3.12)
si conjugata sa, ca si (luind in considerare ecuatia (Ib))
ceea ce inseamna
(3.13)
pentru si conjugata sa.
Consideram acum conexiunea transversala (sau normala) si tensorul sau de
curbura . Inainte de toate, din (IIa) avem pentru si de aici
pentru
(3.14)
si ecuatia sa conjugata. Din (IIb), (IIa) avem
din nou deoarece , unde si
Din acestea obtinem
(3.15)
Aici ultima egalitate provine din faptul ca
pentru ca si . Luind conjugata avem
(3.16)
Printr-un calcul similar folosind ecuatia (3.13) obtinem
(3.17)
si conjugata sa. Putem de asemenea scrie
(3.18)
corespunzind ecuatiei (3.14). De asemenea ramine si ecuatia conjugata.
Trecind in revista, avem
Ecuatiile lui Codazzi si Ricci
(Va) pentru si conjugata sa
(Vb)
(VIa) si conjugata sa
si conjugata sa
(VIb) si conjugata sa
si conjugata sa
(VIc) pentru si conjugata sa.
De aici d(X,Y) este un termen netrivial (nebanal?) care apare in (Vc) si (VIc)
in legatura cu h si R .
Pentru folosinta ulterioara dorim sa enumeram aceste ecuatii de baza folosind
reprezentarea reala; deoarece calculul este asemanator cu cel de mai sus, vom
omite detaliile. Pornind de la ecuatiile (1.1) si (1.5) si folosind faptul ca
pentru imersii afine K"hler AJ=-JA si , obtinem ecuatiile lui Gauss,
Codazzi si Ricci (X,Y,Z sunt aici cimpuri vectoriale reale pe M):
(VIIa)
(VIIb)
(VIIc)
(VIId)
(VIIe)
Cap. 4 Teorema fundamentala pentru imersii afine K"hler
Dorim acum sa demonstram teorema fundamentala pentru imersii afine K"hler;
de-a lungul acestui paragraf vom utiliza formalismul real, in ceea ce priveste
varietatea complexa M ca o varietate analitica reala 2n-dimensionala
inzestrata cu o structura complexa J.
Teorema 4.1 Fie M o varietate complexa n-dimensionala cu o structura
complexa J impreuna cu o conexiune afina K"hler . Fie A cimpul tensor real de
tipul (1,1) pe M impreuna cu un cimp tensor real simetric h de tipul (0,2) si o
1-forma . Presupunem ca urmatoarele ecuatii sunt satisfacute (X,Y,Z sunt
cimpuri vectoriale reale pe M ):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
unde R este tensorul de curbura al lui . Atunci acolo exista local o imersie
olomorfa f:M C si un cimp vectorial (1,0)-transversal antiolomorfic de-a
lungul lui f asa incit f:(M,V) C este o imersie afina K"hler. Acest tip de
imersie este unic pina la o transformare olomorfica afina a lui C . Daca M
este presupus simplu conectat (conex?), toate rezultatele de mai sus conduc
catre un cadru mai larg (hold in a global setting).
Observatie. Notam ca ecuatiile c), d), e), f), g) sunt cu siguranta ecuatiile
lui Gauss, Codazzi si Ricci pentru o imersie afina K"hler potrivit formulelor
(VIIa,b,c,d,e) din cap. 3, asa incit ele sunt necesare pentru existenta unei
atari imersii.
Demonstratie. Consideram legatura triviala N=M xRý peste M , unde Rý este
inzestrat cu structura complexa standard J . Definim o conexiune pe N in
urmatorul mod : alegem o sectiune infinita a lui N si punem pentru X X
Putem acum defini o conexiune D in legatura E=TM N dupa cum urmeaza
Folosind ecuatiile a)-f) este usor de verificat ca operatorul de curbura al lui
D dispare (se anuleaza) identic; de aici, printr-un rezultat standard din
teoria conexiunilor in legaturi vectoriale (vezi [K-N], vol. I, Cor. 9.2, p.92),
putem gasi local un C isomorfism-legatura
care mapeaza conexiunea D in conexiunea standard plata D in legatura triviala
. Notam ca este o structura complexa de-a lungul fibrelor lui E
si ca D paraseste I paralel; deoarece pastreaza conexiunile, rezulta ca
structura complexa de-a lungul fibrelor lui este paralela
onorind conexiunea D, asa incit putem vorbi despre structura complexa J indusa
pe R fara confuzii. In cele ce urmeaza vom identifica ( , ) cu C .
Desemnam prin incluziunea si consideram harta
Daca X este orice sectiune a lui TM , adica orice cimp vectorial pe M , putem
scrie unde este evaluabil C 1-forma pe M . Demonstram mai intii ca este
inchis, adica =0. Intr-adevar, daca X si Y sunt cimpuri vectoriale pe M
(4.1)
deoarece este liber de torsiune si h este simetric. Daca aplicam la amindoi
membrii ai lui (4.1) si folosim faptul ca pastreaza conexiunile, obtinem
ceea ce inseamna . Mai mult, notam ca pentru ca
mapeaza structura complexa I in structura complexa C data de inmultirea prin
i.
De aceeea putem scrie ca unde fiecare este evaluabil C
1-forma de tipul (1,0) cu ; de aici fiecare poate fi exprimat local ca
pentru unele functii olomorfe f ; intr-adevar, si
din faptul ca este de tipul (1,0), obtinem ca , adica este
imersie olomorfa. Punem unde f:M C este o imersie
olomorfa : daca pentru unii x M si X TM , atunci F(X)=(x,0) si
iar de aici X=0.
Avem nevoie numai de definirea cimpului vectorial (1,0)-transversal punind
Conditia de antiolomorficitate pentru este de fapt echivalenta cu
si, deoarece pastreaza conexiunile, este suficient sa verificam ca
Dar:
si acesta demonstreaza prima parte a teoremei.
Acum vom demonstra ca acest tip de imersiune este unic pina la o transformare
afina olomorfa a lui C ; demonstratia urmeaza acelasi drum ca si in cazul unei
hipersuprafete K"hleriene (vezi [K-N], vol.II, p.45).
Presupunem ca avem doua imersii afine (local) K"hler f,f':M C cu
cimpurile vectoriale antiolomorfe (1,0)-transversale si
inducind pe M aceeasi conexiune , operatorul de forma A, forma fundamentala h
si forma de conexiune normala . Fixam un punct si alegem un sistem de
coordonate U, cu coordonatele analitice (x ,,x ), pe care amindoua functiile
f si f' sunt definite. Punem si (i=1,,2n) si
definim o transformare afina B a lui C in urmatorul mod
Deoarece f si f' sunt olomorfe, B rezulta ca este olomor. De aici schimbind f cu
B f, putem presupune ca si . Daca
desemnam prin simbolurile locale Christoffel ale lui si prin expresia
locala a matricei pentru A, avem ca
si acelasi lucru pentru . Deoarece si
satisfac amindoi acelasi sistem de multime de ecuatii diferentiale si deoarece
coordonatele lor initiale coincid, unicitatea solutiei pentru problema Cauchy
implica faptul ca pe U, adica f=f' pe U.
Daca M este presupus simplu conectat, atunci maparea este definita pe
intregul E si de asemenea functia f este definita global pe M ; mai mult, daca
f si f' sunt doua asemenea imersii K"hler, atunci din argumentatia anterioara
putem gasi o transformare afina olomorfa a lui C asa incit f B si f' coincid
local, de unde pe intregul M din cauza olomorficitatii.
q.e.d.
Cap.5 Conexiuni normale plate si planeitate Ricci
Spre deosebire de teoria clasica a hipersuprafetelor nedegenerate in R ,
(vezi [N-Pi]-1), nu este in general posibil sa alegem pentru o hipersuprafata
complexa in C un cimp vectorial (1,0)-transversal antiolomorf asa incit si
sa fie identici cu 0. In cazul K"hler, este cunoscut ca o hipersuprafata
complexa M intr-o varietate K"hler M de curbura de categorie constanta c are
conexiunea plata normala numai daca c=0 si M este complet geodezic (vezi
teorema 7 in [N-S]). In cazul afin K"hler avem
Propozitie. Fie M o hipersuprafata complexa in C si un cimp vectorial (1,
0)-transversal antiolomorf.
1) Tensorul Ricci al lui M dispare (se anuleaza ?)identic daca si numai daca
conexiunea normala este plata, adica
2) Presupunem conexiunea normala plata. Atunci putem gasi local o functie
antiolomorfa asa incit pentru cimpul vectorial transversal antiolomorf
conexiunea normala dispare identic.
Demonstratie. Notam ca tensorul lui Ricci este definit pentru Y,Z X prin
Pentru o conexiune afina K"hler, stim ca R(X,Y)=0 pentru X,Y X ; aceasta
implica Ric(Y,Z)=Ric(Y,Z)=0 pentru X,Y X . Deci pentru Y,Z X avem
care este egal cu -h(S(Y),Z) din ecuatia (IIIb). Din ecuatia (Vc) vedem ca
Ric(Y,Z)=0 daca si numai daca . Aceasta demonstreaza 1) prin
ecuatiile (VIa)-(VIc).
Pentru a demonstra 2), mai intii observam ca daca este o functie
antiolomorfa, atunci este antiolomorfa. Forma de conexiune normala poate
fi gasita dupa cum urmeaza. Pe de-o parte, avem
Pe de alta parte
De aici obtinem
(5.1)
pentru fiecare Z X . Acum incepem cu presupunerea ca . Din ecuatiile
(VIa,b,c) vedem ca . Deoarece este o 1-forma de tipul (0,1) care este
nula pe (1,0)-vectori, putem scrie local de unde
Evaluind in ca si in , obtinem ca si
asa incit fiecare este o functie constanta, sa spunem
egala cu a . Avem ca , unde este functia olomorfa
Fie care este o functie antiolomorfa. Atunci avem
Din (5.1) aceasta inseamna ca si aceasta demonstreaza 2).
Acum demonstram
Teorema 5.1 Fie M o hipersuprafata complexa in C cu un cimp vectorial (1,
0)-transversal antiolomorf. Presupunem ca a doua functie fundamentala h este
nedegenerata (conditie ce este independenta de alegerea oricarui cimp vectorial
(1,0)-transversal, olomorf, antiolomorf sau oricum ar fi). Atunci urmatoarele
conditii sunt echivalente :
1) Tensorul Ricci pentru M dispare identic;
2) conexiunea normala pentru M este plata;
3) este paralel in C si de accea M este echivalent cu graficul unei anume
functii olomorfe F(z ,,z ) peste un domeniu D in C cu un Hessian nedegenerat
Demonstratie. Echivalenta dintre 1) si 2) a fost deja demonstrata. Sa
presupumen 2). Din propozitia anterioara putem realege asa incit este identic
cu 0. Stim de asemenea ca pentru toate Y,Z X . Deoarece h este
nedegenerata, aceasta conduce la S=0. De aici
adica este paralel in C . Rezulta ca M este graficul unei anume functii
olomorfe F pe un domeniu D intr-un hiperplan transversal fata de vectorul
constant in C . In acest caz, h pe este exprimat de matricea Hessiana
a lui F, care este nedegenerata. De aici 2) implica 3). Reciproca, adica 3)
implica 1) rezulta din faptul ca pentru graficul unei imersii operatorul de
forma S dispare identic.
q.e.d.
Daca M este presupus plat, adica R=0, atunci desigur ca tensorul lui Ricci
este 0 si obtinem ca M este un grafic. Oricum putem demonstra acest rezultat
fara a presupune ca h este nedegenerat.
Teorema 5.2 Fie f:(M ,V) C o imersie afina K"hler. Daca M este plat,
adica R = 0, atunci f este total geodezica sau o imersie grafica cu cimpul
vactorial (1,0)-transversal paralel.
Demonstratie. Din ecuatia (IIIb), R=0 implica h(Y,Z)S(Y)=0 pentru toate X,Y,X
X . Presupunem S 0 intr-un punct x M . Atunci prin alegerea lui Y M cu
gasim ca h dispare identic pe in x, si de aici pe in x.
Presupunem ca S nu este identic cu 0. Atunci S 0 intr-un punct x si de aici
intr-o vecinatate U a lui x. Din argumentul de mai sus vedem ca h=0 pe U. Dar h
este analitica reala si de accea dispare pe M . Aceasta inseamna ca M este
total geodezic. Pe de alta parte, daca S este identic cu 0, din cauza ca R=0
putem realege un cimp vectorial (1,0)-transversal cu
Cap. 6 O analogie la teorema lui Berwald
Fie f:(M,V) C o imersie afina K"hler. Printre derivatiile covariante ale
lui h, cele netriviale sunt de forma , pentru X,Y,Z X
si conjugatele lor. Pentru acestea avem ecuatiile (IVa) si (IVb).
Demonstram o analogie la teorema lui Berwald. (vezi [N-P]-2)
Teorema 6.1 Fie f(M,V) C o imersie afina nedegenerata K"hler. Daca
sunt 0 pentru toate cimpurile vectoriale complexe X,Y,Z, atunci f este
echivalenta cu graficul unui polinomial patratic
unde
Demonstratie. Din ecuatiile (VIb) obtinem pentru toate
X,Y,Z X . De aici obtinem . Din ecuatia (VIa) obtinem ca h(X,S(Z))=0 si
deoarece h este nedegenerata, concluzionam cu faptul ca S=0. Din faptul ca S si
dispar identic, putem folosi argumentul precedent pentru a alege un cimp
vectorial (1,0)-transversal antiolomorfic care este paralel in C . Vedem ca f
este o imersie grafica
unde F este o functie olomorfa definita pe un domeniu D in C si
Din aceasta avem
si
De aici fiecare F este constant si
pentru anumite constante b si c.
