Chestiuni elementare despre siruri referat






Siruri




Chestiuni elementare

despre siruri






Prezenta lucrare isi propune prezentarea unor aspecte elementare privind sirurile de numere reale.

In mod obisnuit, prin sir se intelege o infinitate de numere, distincte sau, nu, scrise unul dupa altul. Exemplu, sirul numerelor naturale:



Definitie. Numim sir orice functie f : N R, f(n) = an.

Notam (an)n


Exemple de siruri:


2, …, n, n, …

3) 10, 102, 103, 104, …, 10n, …

4) 1, , , , …, , …

, , , …, , …


Definitie. Sirul (an)n este marginit daca exista M > 0 astfel incat an M, pentru orice nIN


Exemplu: sirul an = cos nΠ este marginit, deoarece termenii sai sunt mai mari sau egali cu –1 si mai mici sau egali cu 1.


Definitie. Sirul (an)n este monoton crescator daca an an+1. Sirul (an)n este monoton descrescator daca an an+1.

Exemple: sirul “0, 1, 2, 3,…, n,…” este crescator; sirul “1, , , , …, , …” este descrescator.


Notiunea de convergenta

Daca observam ca termenii sirului (an)n se apropie din ce in ce mai mult de numarul a (se “ingramadesc”), pe masura ce n creste, vom avea o viziune intuitiva asupra convergentei sirului. Vom spune ca an a (an tinde, converge catre a), a fiind limita sirului. Vom nota .


Mai exact:

Definitie. Sirul (an)n este convergent catre a sau are limita a daca orice vecinatate a lui a (interval deschis care-l contine pe a) contine toti termenii sirului, exceptand (eventual) un numar finit de termeni.

Sau:

Definitie. Sirul (an)n este convergent catre a (are limita a) daca e > ne > (un rang depinzand de e), astfel incat n ne, sa avem an a < e




Observatie. Limita unui sir, daca exista, este unica.


Teorema. Orice sir monoton si marginit este convergent.


Exemplu. Sirul an = se constata usor ca este descrescator: 1 > > > > > … si marginit inferior de 1; deci = 1.


Proprietati ale sirurilor convergente:

limita modulului este egala cu modulul limitei;

limita sumei (diferentei, produsului, catului – daca exista) este egala cu suma (diferenta, produsul, catul) limitelor;

constanta iese in fata limitei;

limita radicalului este egala cu radicalul limitei;

limita unei puteri se distribuie bazei si exponentului, adica lim(xy) = (limx)limy;

limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei; etc.


Operatii cu

); a ; la inmultirea (impartirea) infinitilor se aplica regula semnelor; = 0; = ; a = ; a = ; 0 ; loga0 = ; loga

Operatii fara sens: ; ; ; 1


Aspectele prezentate mai sus, aprofundate pe baza de exemple, vor constitui baza calculului limitelor de siruri.












Copyright © Contact | Trimite referat


Ultimele referate adaugate
Mihai Beniuc
   - Mihai beniuc - „poezii"
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - Mihai eminescu - student la berlin
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Mircea Eliade - Mioara Nazdravana (mioriţa)
Vasile Alecsandri Vasile Alecsandri
   - Chirita in provintie de Vasile Alecsandri -expunerea subiectului
Emil Girlenu Emil Girlenu
   - Dragoste de viata de Jack London
Ion Luca Caragiale Ion Luca Caragiale
   - Triumful talentului… (reproducere) de Ion Luca Caragiale
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Fantasticul in proza lui Mircea Eliade - La tiganci
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - „Personalitate creatoare” si „figura a spiritului creator” eminescian
George Calinescu George Calinescu
   - Enigma Otiliei de George Calinescu - geneza, subiectul si tema romanului
Liviu Rebreanu Liviu Rebreanu
   - Arta literara in romanul Ion, - Liviu Rebreanu











Scriitori romani