Chestiuni elementare despre siruri




Siruri




Chestiuni elementare

despre siruri





Prezenta lucrare isi propune prezentarea unor aspecte elementare privind sirurile de numere reale.

In mod obisnuit, prin sir se intelege o infinitate de numere, distincte sau, nu, scrise unul dupa altul. Exemplu, sirul numerelor naturale:



Definitie. Numim sir orice functie f : N R, f(n) = an.

Notam (an)n


Exemple de siruri:


2, ., n, n, .

3) 10, 102, 103, 104, ., 10n, .

4) 1, , , , ., , .

, , , ., , .


Definitie. Sirul (an)n este marginit daca exista M > 0 astfel incat an M, pentru orice nIN


Exemplu: sirul an = cos nΠ este marginit, deoarece termenii sai sunt mai mari sau egali cu -1 si mai mici sau egali cu 1.


Definitie. Sirul (an)n este monoton crescator daca an an+1. Sirul (an)n este monoton descrescator daca an an+1.

Exemple: sirul "0, 1, 2, 3,., n,." este crescator; sirul "1, , , , ., , ." este descrescator.


Notiunea de convergenta

Daca observam ca termenii sirului (an)n se apropie din ce in ce mai mult de numarul a (se "ingramadesc"), pe masura ce n creste, vom avea o viziune intuitiva asupra convergentei sirului. Vom spune ca an a (an tinde, converge catre a), a fiind limita sirului. Vom nota .


Mai exact:

Definitie. Sirul (an)n este convergent catre a sau are limita a daca orice vecinatate a lui a (interval deschis care-l contine pe a) contine toti termenii sirului, exceptand (eventual) un numar finit de termeni.

Sau:

Definitie. Sirul (an)n este convergent catre a (are limita a) daca e > ne > (un rang depinzand de e), astfel incat n ne, sa avem an a < e


Observatie. Limita unui sir, daca exista, este unica.


Teorema. Orice sir monoton si marginit este convergent.


Exemplu. Sirul an = se constata usor ca este descrescator: 1 > > > > > . si marginit inferior de 1; deci = 1.


Proprietati ale sirurilor convergente:

limita modulului este egala cu modulul limitei;

limita sumei (diferentei, produsului, catului - daca exista) este egala cu suma (diferenta, produsul, catul) limitelor;

constanta iese in fata limitei;

limita radicalului este egala cu radicalul limitei;

limita unei puteri se distribuie bazei si exponentului, adica lim(xy) = (limx)limy;

limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei; etc.


Operatii cu

); a ; la inmultirea (impartirea) infinitilor se aplica regula semnelor; = 0; = ; a = ; a = ; 0 ; loga0 = ; loga

Operatii fara sens: ; ; ; 1


Aspectele prezentate mai sus, aprofundate pe baza de exemple, vor constitui baza calculului limitelor de siruri.