Prefata

 

Aceasta lucrare a fost realizata cu sprijinul corporatiei „Paul & Co.” si se adreseaza unor anumite categorii de persoane, si anume elevilor de liceu care doresc sa-si aprofundeze cunostintele in domeniul matematicii. De asemenea aceasta sinteza, scurta si la obiect, a functiei de gradul II este foarte utila elevului modern din ziua de astazi care nu se omoara cu invatatul si doreste sa faca intr-asa fel incat sa scape cat mai repede. Lucrarea de fata nu numai ca-l face sa retina esentialul intr-o perioada relativ scurta, ba chiar il poate atrage, si pe viitor, cu siguranta va rezerva mai mult timp studiului.

Cuprins

 

Partea teoretica…………………………………………………... pg 4 – 8

 

Definitia functiei de gradul II. Exemple…………………………... pg 4

Variatia functiei de gradul II si reprezentarea grafica……………... pg 4

Forma canonica……………………………………………………. pg 4

Maximul si minimul……………………………………………….. pg 5

Sensul de variatie (intervalele de monotonie)……………………... pg 5

Reprezentarea grafica a functiei patratice…………………………. pg 6

Trasarea curbei reprezentative a unei functii patratice……………. pg 7

Semnul functiei patratice………………………………………….. pg 8

Partea aplicativa…………………………………………………. pg 8 – 9

 

1. Partea teoretica

1. DEFINITIA FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE

Definitie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a¹ 0, functia f : R®R definita prin formula: f(x) = ax² + bx + c se numeste functie de gradul al doilea cu coeficientii a, b, c.

 

1. Deoarece domeniul si codomeniul functiei de gradul al doilea este R vom indica aceasta functie astfel: 15411hle47ddp2q

f(x) = ax² + bx + c sau y = ax² + bx + c

2. O functie de gradul al doilea f : R®R, f(x) = ax² + bx + c este perfect determinata cand se cunosc numerele reale a, b, c (a ¹ 0).

3. Trebuie sa observam ca in definitia functiei de gradul al doilea conditia a ¹ 0 este esentiala in sensul ca ipoteza a = 0 conduce la functia de gradul intai, studiata in clasa a VIII-a.

4. Denumirea de functie de gradul al doilea provine din faptul ca este definita prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX² + bX + c.

 

Exemple de functii de gradul al doilea

1. f₁ (x) = 7x² - 9x + 10, (a = 7, b = -9, c = 10); ld411h5147dddp

2. f₂ (x) = Ö2x² + Ö2x + 1, (a = Ö2, b = Ö2, c = 1);

3. f₃ (x) = 0.51x² - 2x, (a = 0.51, b = -2, c = 0);

4. f₄ (x) = x² + 0.31, (a = 1, b = 0, c = 0.31);

5. f₅ (x) = -x² - 5x – 0.31, (a = -1, b = -5, c = -0.31).

 

2. VARIATIA Si REPREZENTAREA GRAFICA A FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA

• Forma canonica

Reamintim ca pentru orice x I R

ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²]

Rezulta ca pentru orice x I R, avem

f(x) = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] (1)

Membrul drept al egalitatii (1) se numeste forma canonica a functiei patratice. Numarul Δ = b² - 4ac, discriminantul ecuatiei asociate (ax² + bx + c = 0), se mai numeste discriminantul functiei patratice.

Observam ca f(-b/2a) = -Δ/4a

Exemple

1. 2x² - x + 3 = 2[x² - 1/2x + 3/2] = 2[x² - 2*x*1/4x + 1/16 - 1/16 + 3/2] = 2[(x -1/4)² + 23/16] = 2(x – 1/4)² + 23/8;

2. -3x² - 4x + 5 = (-3)[x² + 4/3x - 5/3] = (-3)[x² + 2*2/3x + 4/9 - 4/9 - 5/3] = (-3)[(x + 2/3)² - 19/9] = (-3)(x +2/3)² + 19/3

• Maximul si minimul

Exemple

1. f : R®R, f(x) = 2x² - x - 3. Avem f(x) = 2(x - 1/4)² + 23/8, " x I R, deci f(1/4) = 23/8 si f(x) ³ f(1/4), " x I R.

Rezulta ca 23/8 este cea mai mica valoare sau minimul functiei f pe R.

2. f : R®R, f(x) = -3x² - 4x + 5. Avem f(x) = -3(x +2/3)² + 19/3, " x I R, deci f(-2/3) = 19/3 si f(x) £ f(-2/3), " x I R

Rezulta ca 19/3 este cea mai mare valoare sau maximul functiei f pe R.

In general, avand in vedere forma canonica a functiei patratice f(x) = ax² + bx + c si faptul ca f(-b/2a) = -Δ/4a, rezulta ca pentru orice x I R

f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)²

Constatam ca semnul diferentei din membrul stang depinde de semnul numarului a, deci pentru orice x I R avem:

• daca a > 0, f(x) ³ f(-b/2a), deci f admite un minim pe R;

• daca a < 0, f(x) £ f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R;

Fie functia f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0.

• Daca a > 0, minimul functiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim este –b/2a.

• Daca a < 0, maximul functiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim este –b/2a.

• Sensul de variatie (intervalele de monotonie)

Exemplu. Vom studia intervalele de monotonie ale functiilor g si h definite pe R, g(x) = |x - 2| + 3 si h(x) = -|x + 3| + 1. Avem:

g(x) = x + 1, x ³ 2 h(x) = -x - 2, x ³ -3

-x + 5, x < 2 x + 4, x < -3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Functia g are minimul in punctul x = 2 (g(x) ³ g(2), adica |x - 2| + 3 ³ 3 sau |x - 2| ³ 0, " x I R) si este strict descrescatoare pe (-∞; 2], strict crescatoare pe [2; + ∞).

Functia h are maximul in punctul x = -3 (h(-3), " x I R) si este strict crescatoare pe (-∞; -3], strict descrescatoare pe [-3; + ∞).

 

 

Fie functia f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0.

Daca a > 0, atunci f are minim pe R si vom arata ca se comporta analog cu functia g. Daca a < 0, atunci f are un maxim si vom arata ca se comporta analog cu functia h.

Fie u, v I R, u ¹ v. Raportul de variatie asociat lui f si numerelor u, v este

(f(u) – f(v))/(u-v) = (au² + bu - av² - bv)/(u - v) = a(u + v) + b

Sa studiem semnul raportului de variatie in cazul a > 0.

Daca u, v I (-∞; -b/2a], atunci din u £ -b/2a, v £ -b/2a, rezulta u + v £ -b/a sau a*(u + v) + b £ 0. Avem a*(u + v) + b = 0 ↔ u = v = -b/2a, situatie care nu poate avea loc, deoarece prin ipoteza u ¹ v. Rezulta a*(u + v) + b < 0, deci in cazul a > 0, f este strict descrescatoare pe (-∞; -b/2a].

Daca u, v I [-b/2a; + ∞), deducem analog a(u + v) + b > 0, deci in cazul a > o, f este strict crescatoare pe [-b/2a; + ∞).

In mod analog se studiaza cazul a < 0.

 

Fie functia f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0.

• Daca a > 0, atunci functia f atinge minimul in punctul –b/2a si este: strict descrescatoare pe (-∞; -b/2a], strict crescatoare pe [-b/2a; + ∞);

• Daca a < 0, atunci functia f atinge maximul in punctul –b/2a si este: strict crescatoare pe (-∞; -b/2a], strict descrescatoare pe [-b/2a; + ∞).

 

• Reprezentarea grafica a functiei patratice

Consideram un reper in plan. Reprezentarea grafica a functiei f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0, adica multimea punctelor M (x, y) ale caror coordonate verifica relatia y = ax² + bx + c, este o curba numita parabola. Vom nota aceasta curba prin C_f.

 

1. Conditia ca un punct din plan sa apartina curbei C_f

Fie M (p, q) un punct din plan. Punctul M (p, q) apartine curbei C_f daca si numai daca q = f(p), deci q = ap² + bp + c.

Daca q ¹ ap² + bp + c, atunci C_f nu trece prin M (p, q).

Punctul V(-b/2a, -Δ/4a) apartine curbei C_f pentru ca -Δ/4a = f(-b/2a) si se numeste varful parabolei.

Exemple

• A (2, -3) I C_f Þ -3 = 4a + 2b + c; B (-1, 0) I C_f Þ 0 = a - b + c.

• a + b + c = 0 Þ C (1, 0) I C_f ; a - b + c = 2 Þ D (-1, 2) I C_f.

1. Axa de simetrie a curbei C_f

Fie o functie f : R®R. Dreapta de ecuatie x = h este axa de simetrie pentru curba reprezentativa a functiei f daca

f(h + x) = f(h - x), " x I R.

Daca are loc relatia f(-x) = f(x), " x I R (avem h = 0), atunci curba este simetrica in raport cu axa Oy si f este o functie para.

Functia patratica f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0 verifica relatia

f(-b/2a + x) = f(-b/2a - x), " x I R.

ceea ce se poate demonstra direct sau utilizand forma canonica.

Curba reprezentativa a functiei f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0 admite ca axa de simetrie dreapta de ecuatie x = -b/2a.

In particular, daca b = 0, f(x) = ax² + c este o functie para.

 

3. Intersectia curbei C_f cu axele de coordonate

Se stie ca Ox = {(x, y)|x I R, y = 0}, iar Oy = {(x, y)| x = 0, y I R}.

Rezulta:

M (x, y) I C_f Ç Ox Û y = ax² + bx + c si y = 0 Û ax² + bx + c = 0 si y = 0.

M (x, y) I C_f Ç Oy Û y = ax² + bx + c si x = 0 Û x = 0 si y = c.

Dupa cum Δ = b² - 4ac este strict pozitiv, nul sau strict negativ, ecuatia ax² + bx + c = 0 are doua solutii reale x₁ si x₂, o singura solutie reala x = -b/2a, respectiv nici o solutie reala.

In consecinta:

• daca Δ > 0, C_f Ç Ox ={A(x₁, 0), B (x₂, 0)};

• daca Δ = 0, C_f Ç Ox ={A (-b/2a, 0)};

• daca Δ < 0, C_f Ç Ox =Ø.

De asemenea, reprezentarea grafica a oricarei functii patratice intersecteaza axa Oy, si anume

C_f Ç Oy = {C(0, c)}

Pentru c = 0, curba asociata functiei f(x) = ax² + bx trece prin originea reperului.

 

• Trasarea curbei reprezentative a unei functii patratice

Pentru a reprezenta grafic o functie patratica f : R®R, f(x) = ax² + bx + c, a ¹ 0 adica pentru a trasa curba sa reprezentativa C_f , numita parabola, se procedeaza dupa cum urmeaza.

1. Se determina si se inscriu intr-un tabel de variatie coordonatele unui numar finit de puncte ale curbei C_f , printre care este bine sa se afle:

• punctele de intersectie ale curbei cu axele reperului;

• punctul V (-b/2a, -Δ/4a), varful parabolei.

2. Se reprezinta aceste puncte intr-un reper al planului, ales astfel incat sa putem figura toate punctele.

3. Se unesc punctele reprezentate printr-o curba continua, tinand cont de:

• Intervalele de monotonie ale functiei patratice;

• Simetria curbei C_f in raport cu dreapta de ecuatie x = -b/2a.

Cu ajutorul curbei astfel obtinute, putem obtine o buna aproximare a coordonatelor oricarui punct al curbei C_f.

 

• Semnul functiei patratice

• Cazul Δ > 0

 

x	-∞ x1 x2 + ∞
f(x)	semn a 0 semn contrar a 0 semn a

 

 

 

 

1. Cazul Δ = 0

 

 

x	-∞ -b/2a + ∞
f(x)	semn a 0 semn a

 

 

 

 

2. Cazul Δ < 0

x	-∞ + ∞
f(x)	semn a

1. Partea aplicativa

 

2. Sa se construiasca tabelul de variatie si reprezentarea grafica a urmatoarei functii f : R®R, f(x) = x² - 4x + 3 (Δ > 0, a > 0)

x	-¥ 0 1 2 3 + ¥
F(x)	3 0 -1 0

2. x² - 2x – 8 = (x - 1)² - 9

f.c. = a[(x - b/2a)² - Δ/4a²]

x² - 2x - 8 = [(x - 1)² - 36/4] = (x + 1)² - 9

Δ = 4 + 32 = 36

 

3. f : R®R

f(x) = px² - (p² - 6)x + p² - 1 = min x, x = 5/2

p > 0

y (min) = f(5/2) = -Δ/4a

f(5/2) = p(5/2)² - (p² - 6)*5/2 + p² - 1

= -3/2p² - 25/4p + 14

Δ = p⁴ – 12p² + 36 – 4(p³ - p) =

= -12p² - 4p³ + p⁴ + 4p + 36 =

-Δ/4a = (12p² + 4p³ - p⁴ - 4p - 36)/4p

-p⁴ + 4p³ + 12p² - 4p – 36 = 4p(-3/2p² + 25/4p + 14)

-p⁴ + 4p³ + 12p² - 4p – 36 = -6p³ + 25p² + 56p

-p⁴ + 4p³ + 12p² + 6p³ - 25p² - 60p - 36 = 0

-p⁴ + 10p³ - 13p² - 60p - 3 = 0

p⁴ - 10p³ + 13p² + 60p + 36 = 0

P(-2): 16 + 80 + 52 - 120 + 36 = 0

Se descompune polinomul din stanga ecuatiei, in factori de gradul II si se egaleaza cu factorii cu 0. Ecuatia se scrie (p² - 5p - 6)² = 0

Þ p² - 5p - 6 = 0 Þ p₁ = 6; p₂ = -1

 

4. f : R®R

f(x) = 2x² - 3x + 1

f(x) I [-1/8, + ¥), (") x I R

a = 2 Þ a > 0 Þ min

minf = -Δ/4a = -(b² - 4ac)/4a = -(9 - 8)/8 = -1/8

 

5. f : R®R

f(x) = x² - 8x + 12

Ç Ox: y = 0 Þ x² - 8x + 12 = 0

Δ =64 – 48

= 16 Þ ÖΔ = 4

x₁ = (-b + ÖΔ)/2a = (8 + 4)/2 = 6 ÞA (6, 0)

x₂ = (-b - ÖΔ)/2a = (8 - 4)/2 = 2 Þ B (2, 0)

Ç Oy: x = 0 Þ y = 12 Þ C (0, 12)

a = 1, a > 0 Þ x_min = 8/2 = 4

y_min = -Δ/4a = -1 Þ V (4, -1)

x	-1 0 2 4 6 7
f(x)	21 12 0 -1 0 5

 

 

INSEMNARI

 

 

Scriitori romani