Definitie DIVIZIBILITATE, Divizor si multiplu propriu si impropriu, Numere prime referat







DIVIZIBILITATE


Definitia divizibilitatii:



Spunem ca numarul natural a se divide cu d,daca exista un nr.c, astfel incat a=dxc

Ex:30 se divide cu nr.5,pentru ca exista un nr.6,astfel incat

30=5x6.

d/a se citeste d divide a

d/a <=> exista c,astfel incat a=dxc,d si a sunt nr.nat.

a:d se citeste a este divizibil cu d

Divizor si multiplu

Daca d/a,atunci d se numeste divizor al lui a si a se numeste multiplu al lui d.

Dn=multimea divizorilor lui n.

D6=

D15=

D12=

D30=

Multiplii lui 12:

M12=

Proprietati ale divizibilitatii

1) 1/a, a este nr. nat.

2) a/a,a este nr.nat.

3)d/a => d/ab, a,b si d sunt nr.nat.

d/a =>exista nr.nat.c,a.stfel incat a=dc

ab=dcxb si cb este nr. nat.=> ab:d

4)d/a si d/b=>d/a+b

Demonstratie:

d/a<=> exista a' nr.nat.,a.i. a=dxa'

d/b<=> exista b' nr.nat.,a.i. b=dxb'

a+b=dxa'+dxb'=d(a'+b')

a'+b'=c=> a+b=dxc <=> d/a+b

Obs:la fel si pentru d/a si d/b =>d/a-b

Divizori proprii si improprii

Orice nr.este diizibil prin 1 si prin el insusi.Nr.1 si nr. insusi se numesc divizori improprii.Ceilalti divizori ai nr. se numesc divizori proprii.

Ex:D6=

Numere prime

Numim nr.prim orice nr.nat.mai mare decat 1,care are numai divizori improprii.Nr.prime sunt:2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31

Obs.:Singurul nr.prim si par este 2.

Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in factori primi,adica il impartim la toate nr.prime cu care este divizibil.Daca este divizibil doar cu 1 si cu el insusi,atunci nr. este prim.

Criterii de divizibilitate

Criteriul de divizibilitate cu 2

Un nr. este divizibil cu 2 daca ultima sa cifra este para.

Ex:nr.2345678 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 8  si este cifra para:

nr.2000 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 0 si este cifra para.

Nr. care sunt divizibile cu 2 se numesc nr.pare.


Criteriul de divizibilitate cu 5

Un nr. este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este 0 sau 5.


Criteriul de divizibilitate cu 4

Un nr.este divizibil cu 4,daca nr.format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4.


Criteriul de divizibilitate cu 8

Un nr.este divizibil cu 8,atunci cand nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8.


Criteriul de divizibilitate cu 25

Un nr.este divizibil cu 25,daca nr. format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25,adica daca ultimele sale 2 cifre sunt:00;25;50;  75.


Criteriul de divizibilitate cu 125

Un nr. este divizibil vu 125,daca nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125.


Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10

Un nr. este divizibil cu o putere a lui 10,daca ultimele sale n cifre sunt zerouri.


Criteriul de divizibilitate cu 3

Un nr.este divizibil cu 3,daca suma cifrelor sale este un nr.divizibil cu 3.


Criteriul de divizibilitate cu 9

Un nr.este divizibil cu 9,daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9.


Criteriul de divizibilitate cu 6

Un nr. este divizibil cu 6,daca este divizibil cu 2 si cu 3.


Criteriul de divizibilitate cu 15

Un nr. este divizibil cu 15,daca este divizibil cu 5 si cu 3.


Criteriul de divizibilitate cu 11

Un nr. este divizibil cu 11,daca diferenta dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un nr. divizibil cu 11.

Ex.:1925




11:11=>1925:11

Cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun

Cel mai mare divizor comun al nr. a si b este cel mai mare nr.la care se impart exact si a si b.Cel mai mare divizor comun al nr.a si b se scrie:c.m.m.d.c al nr.a si b sau (a;b)

1)(a;b)=d<=>a=dxa'

b=dxb'

(a';b')=1        

2)(a;b)=d<=> d/a si d/b,oricare ar fi d' a.i. d'/a si d'/b=> d'/d

Cel mai mic multiplu comun al nr.a si b este cel mai mic nr. care se imparte exact si la a si la b.Se noteaza:c.m.m.m.c al nr.a si b sau

[a;b]

1)[a;b]=m<=>m=axm'

m=bxm'

2)[a;b]=m<=>a/m si b/m,oricare ar fi m',a.i. a/m' si b/m'=>m'/m

Nr. prime intre ele

Definitie:2 nr.care au cel mai mare divizor comun 1,se numesc nr. prime intre ele.





Obs.:daca a si b sunt prime intre ele,scriem:(a;b)=1

Proprietate:2 nr. consecutive sunt prime intre ele.

Dem.:

Fie d/a si d/a+1=>d/a+1-a<=> d/1=>(a;a+1)=1,oricare ar fi nr.nat. a si nr. nat. nenul d.

Tipuri de probleme de dvizibilitate

1)Aflati nr.a si b,stiind ca (a;b)=15 si a+b=135

Rezolvare:

(a;b)=15<=>a=15a' ;b=15b':(a';b')=1=>a+b=135

15a'+15b'=135

15(a'+b')=135

<=>a'+b'=9

a'=1;b'=8=>a=15;b=120

a'=2;b'=7=>a=30;b=105

a'=4;b'=5=>a=60;b=75


2)Aflati cel mai mic nr.care are exact 6 divizori.

Rezolvare:

6=1x6=2x3

n1=a la puterea a cincea

n2-b la patrat x c

Pt. ca nr. sa fie cel mai mic,trebuie ca puterea care are exponentul cel mai mare sa aiba cea mai mica baza.

n1=2 la puterea a cincea=32

n2=2 la patrat x3=4x3=12=> cel mai mic nr. care are exact 6 divizori este 12.


3)Determinati cel mai mic a,astfel incat nr. 3579a sa fie divizibil cu 11.

Rezolvare:

a+7+3=a+10


[14-(10+a)]:11

14-(10+a)=0

<=>10+a=14

<=>a=14-10

<=>a=4

(3+7+4)-(5+9)=14-14=0=>0:11=>35794:11


4)Care este nr. divizorilor naturali ai nr.:

p=2x3x5

Rezolvare:

Nr. divizorilor este:

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24


5)Sa se arate ca pentru orice nr. nat. n,nr. urmator indeplineste conditiile:

A=7 -7 -7,A:41

Rezolvare:

A=7 -7 -7=7 x7 -7 x7-7 x1=7 (49-7-1)=7 x41=>A:41


6)Sa se afle cu ce nr. nat. nenul trebuie adunat nr. 2xy :25 pentru a obtine rasturnatul acestuia.

Rezolvare:

2xy+a=yx2 =>y nu poate fi 0.

2xy:25=>xy:25=>2xy==>

=>225+a=522

<=>a=522-225=297

275+a=572

<=>a=572-275=297

=>a=297


7)Care sunt nr. prime de 2 cifre,avand produsul cifrelor 6?

Rezolvare:

ab=?,a este nr. nat. nenul si axb=6

=>a;b sunt divizori ai lui 6

D6=

a=1,b=6=>ab=16 si nu este nr. prim

a=2,b=3=>ab=23 si este prim

a=3,b=2=>ab=32 si nu este prim

a=6,b=1=>ab=61 si este prim

ab=


8)Sa se afle cel mai mic nr. nat. de doua cifre,care impartit la 10, 15 si 18 sa dea restul 2.

Rezolvare:

x:10=c1 (r2)

x:15=c2 (r2)

x:18=c3 (r2)

<=>x=10c1+2

x=15c2+2

x=18c3+2

=>x-2=[10;15;18]

<=>x-2=90

<=>x=90+2=92


9)Sa se afle nr. a si b,stiind ca axb=560,a<b,(a;b)=4

Rezolvare:

(a;b)=4=>a=4a'

b=4b'

axb=4a'x4b'=16xa'xb'

560=16xa'xb'

<=>a'xb'=560:16=35

35=1x35=5x7

Daca a'=1,b'=35=>a=4,b=140

Daca a'=5,b'=7=>a=20,b=28


10)Sa se afle doua nr. nat.,stiind ca c.m.m.d.c.=4 si c.m.m.m.c=144

Rezolvare:

(a;b)=4

[a;b]=144

=>(a;b)x[a;b]=axb=>axb=4x144=576

Daca (a;b)=4=>a=4k,b=4p,k si p sunt nr. nat. nenule

=>576=4kx4p=16xkxp

kxp=576:16=36

=>k si p sunt divizori ai lui 36

D3=

Nr. a,b cautate sunt:(4;144);(15;36);(36;16);(144;4)


Algoritmuri

Pentru a afla c.m.m.d.c.al unor numere,se descompun nr.in factori primi si se inmultesc factorii comuni,luati o singura data,la puterea cea mai mica.

Ex.:120=2 x3x5

132=2 x3x11

(120;132)=2 x3


Pentru a afla c.m.m.m.c al unor nr,se descompun nr. in factori primi si se inmultesc factorii comuni si necomuni,luati o singura data la puterea cea mai mare.

Ex.:36=2 x3

200=2 x5

[36;200]=2 x3 x5 =1800



loading...









Copyright © Contact | Trimite referat


Ultimele referate adaugate
Mihai Beniuc
   - Mihai beniuc - „poezii"
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - Mihai eminescu - student la berlin
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Mircea Eliade - Mioara Nazdravana (mioriţa)
Vasile Alecsandri Vasile Alecsandri
   - Chirita in provintie de Vasile Alecsandri -expunerea subiectului
Emil Girlenu Emil Girlenu
   - Dragoste de viata de Jack London
Ion Luca Caragiale Ion Luca Caragiale
   - Triumful talentului… (reproducere) de Ion Luca Caragiale
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Fantasticul in proza lui Mircea Eliade - La tiganci
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - „Personalitate creatoare” si „figura a spiritului creator” eminescian
George Calinescu George Calinescu
   - Enigma Otiliei de George Calinescu - geneza, subiectul si tema romanului
Liviu Rebreanu Liviu Rebreanu
   - Arta literara in romanul Ion, - Liviu Rebreanu














loading...



Scriitori romani