Perpendiculara comuna a doua drepte din spatiu



Perpendiculara comuna a doua drepte din spatiu





Daca a,b sunt doua drepte necoplanare, atunci exista o dreapta unica perpendicualra atat pe a cat si pe b , care le intalneste pe amandoua.



Existenta




Fie a,b 2 drepte necoplanare

Fie PIa ,prin P duc b' la b. Consider a=(a,b')

Duc b^a, aÌb ,bÇb=

Fie MN^a (NIa) T MN este dreapta cautata.


a^b T MN^a TMN^b'    T MN^b

MNÌb b'Ìa b' ½½ b       Dar MN^a (constructie)



T($)MN a.i (MN^a )Ù(MN^b) (a,b necoplanare





2) Unicitatea


ii)      P.p.a ca ( drepte cu un punct comun (MN si NP ) a.i

(MN^a) MN b

(PN^a) PN b




NM^b

NP b   => Dintr-un punct din spatiu am dus pe o dreapta 2 perpendiculare =>F



=>($!) MN a.i (MN^a)Ù(MN^b)








Fie AA' perpendiculara comuna a dreptelor necoplanare d,d si MId, M'Id' a.i (AM)s(A'M'). Sa se afle locul geometric al mijlocului segmentului [MM'].


Rezolvare


1.Gasirea locului


Fie a a.i d a

Fie g AA',d AA' g Tg a

AA' d    T AA' a

d a

g a=d''

Prin A' duc d''' d => (d''',d)=b

Duc M'M'' a

g a T M'' g T M''Id''

M' g g a


Fie MM''' d''' (M'''Id''')

M'M MM''                       TMM'''M''M'=paralelogram

M'''M d TM'''M AA' M''M

AA' d


Fie S a.i [M'S]s[SM]
P a.i [M'P]
s[PM''']

Q a.i [M''Q]s[QM]

[PQ] M''M' T [PQ] [AA']


T(PQ,AA )= plan mediator pentru diedrul (g b

AA' d   

AA' d'' T AA' (d,d'')

AI(d,d'') T AQ (d,d'') TAA' AQ

QI(d,d'') AA' PQ T

TAA'PQ=dreptunghi

Fie b AA',M si g'=[AA',M'

Pt M'=A' si M=A OIl.g

Unim pe O cu S (mijloacele a 2 laturi paralele in dreptunghi

TOS AA' si OS PQ


) NId si N'Id' a.i A'N AN si NS' N'S' => OS' AA' si OS'=OS



Se construieste dreptunghiul A'P'Q'A situat in planul mediator al diedrului (b g

Analog ca la punctul anterior.

TOS' A'A

TOS'=OS (pe o dreapta (AA') din plan (planul mediator), pe un punct (O) se poate duce o singura perpendiculara)

Tl.g al mijlocului segmentului MM' este o dreapta perpendiculara pe AA' in mijlocul ei situata in planul mediator al diedrului (g b


3.Fie S'' Iplanului mediator al diedrului (b g), S''O AA' T [A'T']s[AT] T,T' sunt coturile paralelogramuli in care S'' e mijlocul diagonalei TT'


A'P sAQ
A'P"Q"A dreptunghi (analg dem. anterioara)

[T'P"]s[P"T'''] (plan mediator)

T T'A'P s T'''A'P TT'A sA'T

A'T sTA T T'A'sTA

Tl.g este format din reuniunea a doua drepte perpendiculare ce trec prin mijlocul segmentului [AA'],situate in planul mediator al planelor determinte de cele doua drepte (d,d') si paralelele duse la fiecare din ele prin piciorul perpendicularei comune.