Matematica

Polinoame cu coeficienti complecsi

I. Multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi

I.1.Definirea polinoamelor

Fie C[X] multimea sirurilor(infinite) de numere(complexe)

, care au numai un numar finit de termeni a_i,nenuli, adica exista un numar natural m, astfel incat a_i=0, pentru orice i>m.

De exemplu, sirurile ; ; sunt siruri infinite care au un numar finit de termeni nenuli. Sirul g are 3 termeni nenuli, iar h are 4 termeni nenuli. Deci aceste siruri sunt elemente din multimea C[X].

I.2. Adunarea si inmultirea polinoamelor

Definim pe multimea C[X] doua operatii algebrice: adunarea si inmultirea.

Adunarea polinoamelor:

Fie , doua elemente din multimea C[X]; atunci definim:

,

Proprietatile adunarii polinoamelor:

(C[X],+) se numeste grup abelian

Asociativitatea

^C[X]

Intr-adevar, daca ,si atunci avem si deci .

Analog, obtinem ca . Cum adunarea numerelor este asociativa, avem , pentru orice .

Comutativitatea

, C[X]

Intr-adevar, daca si , avem,

Cum adunarea numerelor complexe este comutativa, avem pentru orice . Deci .

Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,.) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, in sensul ca oricare ar fi C[X],avem:

Elemente inversabile

Orice polinom are un opus, adica oricare ar fi C[X], exista un polinom, notat , astfel incat:

De exemplu, daca este un polinom, atunci opusul sau este

Inmultirea polinoamelor:

Fie ,

Atunci definim:

c_k

Proprietatile inmultirii:

Asociativitatea

Oricare ar fi C[X], avem:

Comutativitatea

Oricare ar fi C[X],avem:

Intr-adevar, daca , , atunci notand si , avem

si . Cum adunarea si inmultirea numerelor complexe sunt comutative si asociative, avem c_r=d_r, pentru orice . Deci .

Element neutru

Polinomul 1=(1,0,0,.) este element neutru pentru inmultirea polinoamelor, adica oricare ar fi C[X],avem:

Elemente inversabile

C[X] este inversabil daca exista ,a.i.:

Singurele polinoame inversabile sunt cele constante nenule: , a

Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele C[X],are loc relatia:

1.3. Forma algebrica a polinoamelor

Notatia introdusa pentru polinoame nu este prea comoda in operatiile cu polinoame. De aceea vom folosi alta scriere.

Daca consideram , atunci se va scrie sub forma: . Au loc notatiile:

Exemplu:

Atunci:

I.4. Gradul unui polinom

Fie . Se numeste gradul lui , notat prin , cel mai mare numar natural n astfel incat .

Exemple: 1. Polinomul are gradul 1;

2. Polinomul are gradul 5;

3. Polinomul constant , unde ,are gradul 0.

Referitor la gradul sumei si produsului a doua polinoame si , au loc urmatoarele relatii:

i) ;

ii) .

I.5. Valoarea unui polinom intr-un punct

Fie , atunci functia polinomiala asociata polinomului f este:

, .

I.6. Impartirea polinoamelor

* Teorema de impartire cu rest:

, , cu

Polinomulse numeste deimpartit,impartitor,cat,iar r rest.

Vom efectua impartirea polinomului la polinomul .

Acest tabel ne reda regula(algoritmul) de impartire a polinoamelor, pe care o vom aplica in practica pentru obtinerea catului si restului impartirii.

Exemplu: Fie polinoamele si . Sa determinam catul si restul impartirii lui f la g.

      

q

r

Deci catul este , iar restul . Formula impartirii cu rest se scrie,in acest caz astfel:

Impartirea prin X-a. Schema lui Horner.

Fie . In cele ce urmeaza ne vom folosi de schema lui Horner pentru a imparti polinomul f la polinomul .

In randul de sus al tabelului se scriu coeficientii polinomului f, iar in randul de jos coeficientii ai catului si restul r.

Exemplu: Utilizand schema lui Horner, sa se determine catul si restul impartirii polinomului si binomul .

Deci catul si restul impartirii sunt si .

I.7. Divizibilitatea polinoamelor

Def. , asa incat , cu .

Spunem ca f se divide la g sau g divide pe f, daca .

Proprietati

Reflexivitatea

Simetria

si , a.i.

In acest caz spunem ca f este asociat cu g

Tranzitivitatea

Daca si

Daca si

Cel mai mare divizor comun

Def. = C.m.m.d.c

1. si

2. si

Algoritmul lui Euclid:

Cel mai mare divizor comun a doua polinoame este unic pana la inmultirea cu o constanta(asociere).

Daca , atunci f si g sunt prime intre ele.

Exemplu: Sa se gaseasca cel mai mare divizor comun al polinoamelor:

si .

Vom aplica algoritmul lui Euclid. Impartim pe f la g.

Pentru a evita coeficientii fractionari, vom inmulti in prealabil pe g cu 3 si restul impartirii cu -1. impartim acum impartitorul la rest:

Acum, pentru a evita din nou coeficientii fractionari, vom inmulti pe cu 2 si continuam operatia.

3

Am obtinut restul . Pentru a evita din nou coeficientii fractionari, vom imparti restul cu -19 si impartim impartitorul la rest.

-- -- Ultimul rest nenul este polinomul si deci .

Cel mai mic multiplu comun

Def. Fie f si g doua polinoame. Un polinom m se numeste cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f si g daca verifica urmatoarele conditii:

1. si

2. , si

Daca d este c.m.m.d.c al lui f si g, atunci .

I.8. Radacinile polinoamelor.

Teorema lui Bezout:

Fie un polinom. Atunci numarul este radacina a polinomului f daca si numai daca divide f.

Teorema fundamentala a algebrei

Orice ecuatie algebrica de grad mai mare sau egal cu 1 si cu coeficienti complecsi are cel putin o radacina complexa.

Radacini simple si multiple

Def. Fie . este radacina de ordin de multiplicitate m, daca si nu divide pe f.

Exemple:

nu divide f este radacina de ordin de multiplicitate 1(rad. simpla).

. Descompunand in factori ireductibili vom obtine:

, unde:

1= radacina de ordin de multiplicitate 3

i,-i,-1= radacini de ordin de multiplicitate 1

Teorema de descompunere in factori ireductibili(primi)

Fie si radacinile sale in C, nu neaparat distincte. Atunci: (in C[X])

Singurii factori ireductibili(primi) in C[X] sunt polinoamele de gradul I.

Relatiile lui Francois Viete

Fie , un polinom de grad n. Daca sunt radacinile lui f, atunci:

II Multimea polinoamelor cu coeficienti reali

Fie si ecuatia .

Daca este radacina pentru f, atunci este radacina pentru f, iar x₁ si x_x au aceeasi multiplicitate.

Demonstratie

.

Teorema de descompunere in factori ireductibili

In R[X]:

Singurele polinoame prime din R[X] sunt:

polinoamele de gradul I

polinoamele de gradul II cu .

III. Multimea polinoamelor cu coeficienti rationali si respectiv intregi

Fie . Atunci daca este radacina pentru f, cu , atunci este radacina pentru f si x₁ si x₂ au aceeasi multiplicitate.

Exemplu:

este radacina.

Fie si ecuatia

Daca f admite o radacina de forma , , atunci

si . Daca , atunci .

Exemplu:

Fie admite solutia . Deci

Impartind succesiv polinomul la posibilele radacini, obtinem:

IV. Aplicatii

IV.1. Probleme rezolvate

1.Sa se determine m si n si apoi sa se rezolve ecuatia stiind ca admite radacina .

Daca

     

Daca .

2.Sa se arate ca polinomul , cu este divizibil prin

Daca

3. Fie . Fie , unde este radacina a lui f. Atunci:

; ; ;

R:c)

4.Restul impartirii lui f la este:

; ; ; .

Fie o radacina a ecuatiei

Deci restul impartirii lui f la este . R:c).

Daca si . Atunci relatia dintre si este:

; ;

; .

Daca atunci:

se mai poate scrie, echivalent, sub forma:

R:c).

Fie ecuatia , fiind parametru. Multimea valorilor lui m pentru care este:

a.  ;     b. ;

c. ; d. .

.

.

Deci . R:a).

Valoarea expresiei:

,unde sunt radacinile ecuatiei este:

a.  b. -1; c. -6; d. 3.

R:c).

Fie radacinile ecuatiei . Atunci suma are valoarea:

a.  ; b. ; c. ; d..

Daca sunt radacini, atunci fiecare din ele verifica ecuatia:

R:b).

Se considera functia , , .Suma modulelor radacinilor ecuatiei este:

a.  ; b. pentru ; c. pentru d. .

      .

Daca . R:b).

Restul impartirii lui la este:

a. ; b. ; c. ; d. .

, unde , .

Pentru

Pentru

(-)

.

Deci . R:d).

IV.2. Probleme propuse

Fie cu radacinile si cu radacinile .

este:

a.    5; b. 7; c. 9; d. 1.

2. este:

a.    1; b. 5; c. 7; d. 3.

3.Sa se determine , stiind ca ecuatia are radacinile in progresie aritmetica.

4.Polinomul are gradul 5 si . Atunci suma radacinilor lui f este:

a.  0; b. -1; c. 3; d. 4.

5.Se considera functia , . Suma este :

a.  89300 b. 44650 c. 44600 d. 45000.

6.Se considera functia , cu . Solutiile si ale ecuatiei , pentru m=2 verifica relatia . Atunci este:

a.  1; b. i; c. 2; d. 1-i.

7.Se considera polinoamele , cu radacinile si , cu rad. . Restul impartirii lui la este:

a.    7; b. 5; c. 1; d. -1.

8. Radacina reala a lui f este situata in intervalul:

a. ; b. c. ; d. .