Ecuatia de gradul II, Sisteme de inecuatii si ecuatii, functia de gradul II



4. FUNCTIA DE GRADUL  II

f: |R®|R, f(x)=ax2+bx+c    a, b, cI|R, a¹0.



Forma canonica: f(x)=a(x+ )2 .

Monotonie:

Ø     a>0 -"È"

f(x) strict descrescatoare "", xI(-¥,)

Ø     a<0 -"Ç"

f(x) strict crescatoare "", xI(-¥,)

f(x) strict crescatoare "  ", xI(,¥)

f(x) strict descrescatoare " ", xI(,¥)

Ø     a>0 -"È"

x

-¥                               ¥

Ø     a<0 -"Ç"

x

-¥                               ¥

f(x)

                     

f(x)

                      

Semn:


Ø     daca D<0    ;

Ø     daca D=0     ;

Ø     daca D>0 ;

Ø     daca a>0 ;

Ø     daca a<0 .


Intersectia cu axele:


Ø     GfÇOX=;

Ø     GfÇOY=.


Varful parabolei: 


Ø     V(,);

Ø     daca a>0 -"È"TVmin - varf minim;

Ø     daca a<0 -"Ç"TVmax - varf maxim. 


Grafic:


Ø     graficul functiei de gradul II este o parabola;

Ø     daca c=0 parabola trece prin originea axelor;


Ecuatia de gradul II:


Ø     ax2+bx+c=0   a, b, cI|R, a¹0;

Ø     D=b2-4ac - discriminantul (delta);

Ø     daca ;

Ø     relatiile lui Francois Viète sau relatii intre radacini si coeficienti (D³0): ;

Ø     formarea ecuatiei de gradul al doilea cand se cunosc radacinile: x2 - sx + p = 0;

Ø     descompunerea trinomului de gradul II in produs de polinoame de gradul intai: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2);

Ø     daca b=2b1 ax2+2b1x+c=0 D1=b12-ac>0, x1,x2=- formula pe jumatate;

Ø     daca ax2+bx+c=0 |:a¹0 x2+x+=0, =p, =q x2+px+q=0 - forma redusa;

 


Ø     discutia naturii si semnului radacinilor in functie de semnele lui D, s si p:

D=b2-4ac

Natura si semnul radacinilor

D<0

-

-

x1,x2Ï|R

D=0

s>0

p>0

x1,x2I|R; x1=x2>0

s<0

p>0

x1,x2I|R; x1=x2<0

s=0

p=0

x1,x2I|R; x1=x2=0

D>0

s>0

p>0

x1,x2I|R; x1¹x2, x1>0, x2>0

p<0

x1,x2I|R; x1¹x2, x1>0, x2<0, x1>|x2|

p=0

x1,x2I|R; x1¹x2, x1>0, x2=0

s<0

p>0

x1,x2I|R; x1¹x2, x1<0, x2<0

p<0

x1,x2I|R; x1¹x2, x1<0, x2>0, |x1|>x2

p=0

x1,x2I|R; x1¹x2, x1<0, x2=0

s=0

p<0

x1,x2I|R; x1¹x2, x1>0, x2<0, x1=|x2|

Inecuatia de gradul II:


Ø     ax2+bx+c<0   a, b, cI|R, a¹0;

Ø     ax2+bx+c£0   a, b, cI|R, a¹0;

Ø     ax2+bx+c>0   a, b, cI|R, a¹0;

Ø     ax2+bx+c³0   a, b, cI|R, a¹0;

Ø     se rezolva ecuatia de gradul II atasata, se studiaza semnul pe |R utilizand semnul functiei de gradul II;

Ø     solutia inecuatiei este acel interval sau reuniune de intervale care satisface cerintele (<, >, £, ³).


Sisteme de inecuatii de gradul II:


Ø     sunt sisteme formate din doua sau mai multe inecuatii de gradul II;

Ø     solutia sistemului este intersectia tuturor solutiilor inecuatiilor din sistem.


Semnul unor expresii:


Ø     E(x)=,  a1,a2,b1,b2,,c1,c2I|R,  a1,a2¹0, ;

Ø     se studiaza semnele functiilor , intr-un tabel;

Ø     se tine cont de faptul ca o fractie este pozitiva Û numaratorul si numitorul au acelasi semn;

Ø     se tine cont de faptul ca o fractie este negativa Û numaratorul si numitorul au semne contrare;

Ø     tinand cont de semnele celor doua functii se determina semnul expresiei pe |R.


Inecuatii cu modul:

Ø     |ax2+bx+c|<m    a, b, c, mI|R, a¹0;Û -m<ax2+bx+c<mÛT se rezolva ca si sistemele de inecuatii.

Sisteme de ecuatii:

Ø     formate dintr-o ecuatie de gradul I si una de gradul II cu 2 necunoscute: , se rezolva prin metoda substitutiei;

Ø     sisteme omogene: se aduna ecuatiile Tecuatia a doua se imparte cu x2 (respectiv y2), dupa care se face substitutia  (respectiv ) obtinandu-se o ecuatie de gradul II T 1 sau 2 sisteme formate dintr-o ecuatie de grad I si una de grad II;

Ø     sisteme simetrice: se noteaza , se utilizeaza identitatile: .

Ø    

Ø