Ecuatia de gradul II, Sisteme de inecuatii si ecuatii, functia de gradul II referat



4. FUNCTIA DE GRADUL II

f: |R|R, f(x)=ax2+bx+c a, b, cI|R, a0.



Forma canonica: f(x)=a(x+ )2 .

Monotonie:

     a>0 -""

f(x) strict descrescatoare "", xI(-,)

     a<0 -""

f(x) strict crescatoare "", xI(-,)

f(x) strict crescatoare " ", xI(,)

f(x) strict descrescatoare " ", xI(,)

     a>0 -""

x

-

     a<0 -""

x

-

f(x)

f(x)

Semn:


     daca D<0 ;

     daca D=0 ;

     daca D>0 ;

     daca a>0 ;

     daca a<0 .


Intersectia cu axele:


     GfOX=;

     GfOY=.


Varful parabolei:


     V(,);

     daca a>0 -""TVmin - varf minim;

     daca a<0 -""TVmax - varf maxim.


Grafic:


     graficul functiei de gradul II este o parabola;

     daca c=0 parabola trece prin originea axelor;


Ecuatia de gradul II:


     ax2+bx+c=0 a, b, cI|R, a0;

     D=b2-4ac - discriminantul (delta);

     daca ;

     relatiile lui Francois Vite sau relatii intre radacini si coeficienti (D0): ;

     formarea ecuatiei de gradul al doilea cand se cunosc radacinile: x2 - sx + p = 0;

     descompunerea trinomului de gradul II in produs de polinoame de gradul intai: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2);

     daca b=2b1 ax2+2b1x+c=0 D1=b12-ac>0, x1,x2=- formula pe jumatate;

     daca ax2+bx+c=0 |:a0 x2+x+=0, =p, =q x2+px+q=0 - forma redusa;


     discutia naturii si semnului radacinilor in functie de semnele lui D, s si p:

D=b2-4ac



Natura si semnul radacinilor

D<0

-

-

x1,x2|R

D=0

s>0

p>0

x1,x2I|R; x1=x2>0

s<0

p>0

x1,x2I|R; x1=x2<0

s=0

p=0

x1,x2I|R; x1=x2=0

D>0

s>0

p>0

x1,x2I|R; x1x2, x1>0, x2>0

p<0

x1,x2I|R; x1x2, x1>0, x2<0, x1>|x2|

p=0

x1,x2I|R; x1x2, x1>0, x2=0

s<0

p>0

x1,x2I|R; x1x2, x1<0, x2<0

p<0

x1,x2I|R; x1x2, x1<0, x2>0, |x1|>x2

p=0

x1,x2I|R; x1x2, x1<0, x2=0

s=0

p<0

x1,x2I|R; x1x2, x1>0, x2<0, x1=|x2|

Inecuatia de gradul II:


     ax2+bx+c<0 a, b, cI|R, a0;

     ax2+bx+c0 a, b, cI|R, a0;

     ax2+bx+c>0 a, b, cI|R, a0;

     ax2+bx+c0 a, b, cI|R, a0;

     se rezolva ecuatia de gradul II atasata, se studiaza semnul pe |R utilizand semnul functiei de gradul II;

     solutia inecuatiei este acel interval sau reuniune de intervale care satisface cerintele (<, >, , ).


Sisteme de inecuatii de gradul II:


     sunt sisteme formate din doua sau mai multe inecuatii de gradul II;

     solutia sistemului este intersectia tuturor solutiilor inecuatiilor din sistem.


Semnul unor expresii:


     E(x)=, a1,a2,b1,b2,,c1,c2I|R, a1,a20, ;

     se studiaza semnele functiilor , intr-un tabel;

     se tine cont de faptul ca o fractie este pozitiva numaratorul si numitorul au acelasi semn;

     se tine cont de faptul ca o fractie este negativa numaratorul si numitorul au semne contrare;

     tinand cont de semnele celor doua functii se determina semnul expresiei pe |R.


Inecuatii cu modul:

     |ax2+bx+c|<m a, b, c, mI|R, a0; -m<ax2+bx+c<mT se rezolva ca si sistemele de inecuatii.

Sisteme de ecuatii:

     formate dintr-o ecuatie de gradul I si una de gradul II cu 2 necunoscute: , se rezolva prin metoda substitutiei;

     sisteme omogene: se aduna ecuatiile Tecuatia a doua se imparte cu x2 (respectiv y2), dupa care se face substitutia (respectiv ) obtinandu-se o ecuatie de gradul II T 1 sau 2 sisteme formate dintr-o ecuatie de grad I si una de grad II;

     sisteme simetrice: se noteaza , se utilizeaza identitatile: .

    

    









Copyright Contact | Trimite referat


Ultimele referate adaugate
Mihai Beniuc
   - Mihai beniuc - poezii"
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - Mihai eminescu - student la berlin
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Mircea Eliade - Mioara Nazdravana (mioriţa)
Vasile Alecsandri Vasile Alecsandri
   - Chirita in provintie de Vasile Alecsandri -expunerea subiectului
Emil Girlenu Emil Girlenu
   - Dragoste de viata de Jack London
Ion Luca Caragiale Ion Luca Caragiale
   - Triumful talentului (reproducere) de Ion Luca Caragiale
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Fantasticul in proza lui Mircea Eliade - La tiganci
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - Personalitate creatoare si figura a spiritului creator eminescian
George Calinescu George Calinescu
   - Enigma Otiliei de George Calinescu - geneza, subiectul si tema romanului
Liviu Rebreanu Liviu Rebreanu
   - Arta literara in romanul Ion, - Liviu Rebreanu











Scriitori romani