Def.: Locul geometric este multimea de puncte care au aceeasi proprietate.
Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculara pe segment dusa prin mijlocul segmentului. Existenta si unicitatea mediatoarea rezulta din faptul ca mijlocul unui segment exista si este unic, perpendiculara printr-un punct al dreptei pe dreapta exista si este unica.
Teorema 1: Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de capetele segmentului.
Dem.: Se considera (AB), ,
si M un punct de
pe mediatoarea segmentului (AB) (Fig.1.1). Daca
, afirmatia este evidenta. Daca
,
(C.C.) si rezulta
, deci
.
Fig. 1.1
Teorema 2: Orice punct egal departat de capetele unui segment apartine mediatoarei segmentului.
Fig. 1.2
Dem.: Se considera (AB) si M un
punct astfel incat
(Fig.1.2). Daca
, atunci M este mijlocul segmentului (AB) si
apartine mediatoarei. Daca
, fie O mijlocul segmentului (AB).
(LLL). Deci
. Deoarece cele doua unghiuri sunt si suplementare,
rezulta ca
, ceea ce inseamna ca MO este mediatoarea
segmentului (AB).
Asadar mediatoarea unui segment este locul geometric al punctelor egal departate de capetele segmentului.
Un alt exemplu de loc geometric este bisectoarea unui unghi.
Bisectoarea unui unghi este dreapta care trece prin intersectia a doua drepte diferite, impartind unghiul format de cele doua drepte in doua unghiuri congruente.
Teorema 3: Bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului egal departate de laturile unghiului, reunit cu varful unghiului.
Fig. 1.3
Dem.: a) Se va arata ca orice
punct de pe bisectoare este egal departat de laturile unghiului (Fig.1.3).
Fie
, O varful unghiului, s bisectoarea lui si
. Se noteaza cu A si B picioarele perpendicularelor
din M pe h si respectiv k.
(IU)
.
b) Se va arata ca orice punct M egal
departat de laturile unghiului si se afla in interiorul
unghiului, apartine bisectoarei. Se noteaza cu A si B picioarele
perpendicularelor duse din M pe laturile unghiului. , (OM) latura
comuna si
(IC)
OM bisectoare.
Pe baza proprietatilor de loc geometric ale bisectoarelor si mediatoarelor se pot demonstra urmatoarele doua teoreme referitoare la concurenta bisectoarelor si mediatoarelor unui triunghi.
Teorema 4 Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente.
Dem.: Din teorema transversalei
rezulta ca bisectoarele unghiurilor A si B intersecteaza pe
(BC) si (AC) in cate un punct D, respectiv E (Fig.1.4). Din aceeasi
teorema rezulta ca exista puntul I, . Asadar
. Din proprietatea punctelor bisectoarei unui unghi rezulta
d(I,BC) = d(I,AB), d(I,AB) = d(I,AC) si deci d(I,BC) = d(I,AC) si
pentru ca
rezulta ca
[CI este bisectoarea unghiului C.
Fig. 1.4
Teorema 5 Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente.
Dem.: Fie un triunghi ABC, mediatoarele segmentelor (AB) respectiv (BC),
(Fig.1.5). Din proprietatea punctelor mediatoarei
, deci
O apartine mediatoarei segmentului (AC).
Fig. 1.5
Pe langa bisectoarea, mediatoarea, cercul sau arcul, luate ca locuri geometrice, se mai pot adauga si:
multimea punctelor situate la aceeasi distanta de o dreapta data d este reuniunea a doua drepte paralele cu d, situate in semiplane diferite (Fig.2.1.);
fiind
data o semidreapta (AB, multimea punctelor M pentru care unghiul
are o masura
data este reuniunea a doua semidrepte deschise, cu originea
comuna in A, situate in semiplane diferite fata de AB
(Fig.2.2.).
Rezolvarea acestor probleme se realizeaza in doua etape: prima este aceea in care se incearca determinarea intuitiva a multimii respective, iar in etapa urmatoare se demonstreaza efectiv ca aceasta multime este locul geometric cautat.
Problemele au urmatorul tip: pozitia unui punct M se determina dupa o regula data in functie de pozitia altor puncte si se cere sa se afle locul geometric al punctelor M atunci cand unul sau mai multe din celelalte puncte sunt variabile si parcurg multimi date
In prima etapa se incearca gasirea unor puncte speciale ale locului geometric.
Determinarea a trei puncte ale locului geometric poate sugera daca este vorba despre un segment de dreapta sau un arc de cerc, dupa care se incearca a se demonstra presupunerea facuta. Astfel, daca se presupune ca punctul M descrie o dreapta, se va demonstra, de exemplu, ca M este la o distanta constanta de o dreapta data sau ca AM formeaza unghi constant cu o semidreapta fixa. Daca se presupune ca este vorba despre un arc de cerc se va arata, de exemplu, ca punctele sunt la distanta constanta de un punct fix sau determina un unghi de masura constanta cu doua puncte fixe si este situat intr-unul din cele doua semiplane determinate de punctele fixe.
Dupa ce s-a aratat in acest fel ca punctele locului geometric apartin unei multimi M (o dreapta, un cerc, un arc de cerc, etc) se continua astfel:
se arata ca, reciproc, orice punct al multimii M apartine locului geometric (in care caz locul geometric este M), sau ca acest lucru nu este adevarat.
se determina submultimea a lui M care apartine locului geometric; atunci locul
geometric cautat este
.
Exemple:
Se da triunghiul ABC, dreptunghic in A. Proiectam in P, Q punctele B si C pe o dreapta variabila d, care trece prin A. Sa se afle locul geometric descris de mijlocul M al segmentului [PQ], cand dreapta d se roteste in jurul lui A.
Rezolvare:
Fie A', B', C' mijloacele lui . Daca d ia pozitia AB, atunci P = B si
Q = A, deci C' apartine locului geometric, la fel B'. Se observa
usor ca daca d ajunge in pozitia AA', punctul M este
in A'. Deci A', B', C' apartin locului geometric, ceea ce ne conduce la
presupunerea ca locul cautat este cercul P circumscris dreptunghiului
AC'A'B'. Urmand in gand miscarea lui M cand d se roteste in
jurul lui A, intuitia intareste presupunerea noastra, ea
devenind plauzibila dar nu sigura. Este necesara o
demonstratie care se face in doua etape.
a)
Fig. 2.3
Demonstram
mai intai ca
. Va trebui sa aratam ca
. Paralela prin A' la BP si (CQ) intersecteaza pe d
in mijlocul lui [PQ] (teorema paralelelor echidistante), deci in M. Cum
, avem si
deci
. Rezulta ca M este situat pe arcul capabil de
fata de
[AA'], asadar
(Fig.2.3).
b)
Aratam ca orice punct apartine locului geometric. Daca
, unim A cu N si proiectam B, C pe AN in P', Q'
(Fig.2.4.). Unghiul
fiind inscris intr-un
semicerc este drept; rezulta ca BP', A'N, CQ' sunt paralele
echidistante si N este mijlocul lui [P'Q']. Asadar, N apartine
locului geometric. Daca N = A, se duce perpendiculara prin A pe AA'
si se proiecteaza pe ea B si C in P", Q". Din nou se
observa ca A este mijlocul segmentului [P"Q"], deci si in acest
caz N apartine locului geometric.
Teorema 6: Locul geometric al punctelor care au aceeasi putere fata de doua cercuri neconcentrice este o dreapta perpendiculara pe linia centrelor, numita axa radicala a celor doua cercuri.
Demonstratie: Fie cele doua cercuri si
,
. Trebuie sa aflam locul geometric al punctelor M
pentru care
. Daca
, atunci se poate nota
si conditia se scrie
. Deci trebuie gasit locul geometric al punctelor pentru
care diferenta patratelor distantelor la doua puncte fixe
este constanta. Se foloseste teorema lui Pitagora generalizata
si se ajunge la faptul ca diferenta este constanta.
Teorema 7: Fiind date trei cercuri cu centrele necoliniare, axele lor radicale, luate doua cate doua, sunt concurente intr-un punct ce se numeste centrul radical al celor trei cercuri.
Demonstratie: Fie ,
,
cele trei cercuri, iar
axele radicale ale primelor, respectiv ultimelor doua
cercuri. Srim ca
si
. Daca am avea d║
, ar rezulta ca
, ceea ce nu e posibil,
fiind coliniare. Rezulta ca d si
se taie intr-un punct P.
deoarece P se gaseste pe d are aceeasi putere
fata de
si
: cum P se gaseste si pe
va avea aceeasi
putere fata de cele trei cercuri. In particular P va avea
aceeasi putere fata de
si
, adica va apartine celei de-a treia axe radicale.
Constructia axei radicale. Daca doua cercuri au un punct comun, axa lor radicala trece prin acest punct (caci are puterea zero fata de ambele cercuri). Asadar:
In cazul cercurilor secante, axa radicala este secanta comuna (Fig.3.1). Daca cele doua cercuri sunt tangente, axa radicala este tangenta comuna (fiind perpendiculara pe linia centrelor) (Fig.3.2).
In cazul a doua cercuri fara puncte comune axa radicala se construieste in felul urmator: se traseaza un cerc ajutator care sa fie secant cu cele doua cercuri (Fig.3.3). ducem axele radicale ale perechilor de cercuri si le intersectam in P. perpendiculara din P pe dreapta ce uneste cele doua centre ale cercurilor initiale este axa radical.
Fig. 3.2.
Fig. 3.3.
Teorema 8: Locul geometric al punctelor ale caror
distante la doua puncte fixe sunt intr-un raport constant este un cerc (Cercul
lui Apollonius).
Demonstratie: Fie A,B puncte fixe si k>1;
atunci orice punct M al locului geometric este situat in semiplanul (dB,
unde d este mediatoarea lui [AB]. Daca sunt
intersectiile lui AB cu bisectoarea interioara si cea
exterioara a lui
, atunci, in conformitatea cu teorema bisectoarei unui unghi,
, deci, punctele fixe
apartin locului geometric. Pe de alta parte
, deci M se afla pe un cerc P de diametru
.
Recirpoc, orice punct apartine locului geometric. Intr-adevar, notand
avem
deci
>1. Din ceea ce-am aratat mai sus rezulta
ca N se afla pe un cerc
de diamteru
, unde
. Daca
>k punctele
sunt mai aproape de B
decat
respectiv
, deci
, in contradictie cu
. Daca k>
, atunci
si
iarasi am ajuns la contradictie. Asadar singurul caz
probabil este k=
si deci N apartine locului geometric.
Daca k<1, se schimba rolul lui A si B si se obtine nu cerc in semiplanul (dA
In cazul k = 1, locul geometric este mediatoarea d