Probleme de olimpiada matematica rezolvate

O1. Sa se rezolve sistemul:

Rezolvare:

Conditii de existenta: x,yR^*₊

Ecuatia atasata:

Deci

O2  Sa se gaseasca valorile lui x astfel incat:

Raspuns:

Se observa ca x=0 este solutie

=

Se considera si

f(x) este strict crescatoare pe R

g(x) este strict descrescatoare pe R

O3  Fie aR. Sa se rezolve in R ecuatia:

Rezolvare:

O4  Sa se rezolve sistemul:

Rezolvare:

Conditii de existenta: x,yR^*₊

Observam ca este solutie a sistemului

Verificare:

Cazul 1 x(0;3)

Din relatiile (1) si (2)→contradictie→nu exista solutii pentru x(0;3) (3)

Cazul 2 x(3;+∞)

Din relatiile (1) si (2)→contradictie→nu exista solutii pentru x(3;+∞) (4)

Din relatiile (3) si (4)→ecuatia are solutie unica

O5  Sa se rezolve ecuatia:

4^x+9^x+25^x=6^x+10^x+15^x

Raspuns:

Observam ca x=0 verifica ecuatia.

Verificare: 1+1+1=1+1+1→3=3 (A)

Solutia 1:

Notam 2^x=a

3^x=b

5^x=c

ecuatia 4^x+9^x+25^x=6^x+10^x+15^x se poate scrie a²+b²+c²=ab+ac+bc

a²+b²≥2ab

a²+c²≥2bc

b²+c²≥2ac   +

2(a²+b²+c²) ≥2(ab+bc+ac)→ a²+b²+c² ≥ab+bc+ac

Egalitatea are loc daca a=b=c → 3^x=2^x=5^x→x=0

Solutia 2

4^x+9^x-6^x =+10^x+15^x-25^x   ⁄ :10^x

Definim urmatoarele functii:

Solutia unica este x=0

f(x)= este strict descrescatoare pe R

g(x)= este strict crescatoare pe R

O6  Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare:

Observam ca x=2 este solutie a ecuatiei.

Verificare: 

Definim urmatoarele functii:

f(x)=, →f(x) este strict descrescatoare pe R

g(x)=(sin )^x, →g(x) este strict crescatoare pe R

f(x)+g(x)= este strict descrescatoare pe R

Deci x=2 este solutie unica.

O7  Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare:

Observam ca x=5 este solutie a ecuatiei.

Verificare: 3⁰=1→1=1 (A)

Definim functiile:

f:R→R, f(x)= este strict crescatoare pe R

g:R→R, g(x)= este strict descrescatoare pe R

f(x)=

x₁<x₂→x₁-5<x₂-5→f(x₁)<f(x₂)→functia este strict crescatoare

g(x)=

x₁<x₂ x₁-4<x₂-4→g(x₁)>g(x₂)→functia este strict descrescatoare

Deci x=5 este solutie unica.

N1  Sa se rezolve inecuatiile:

a)    

Rezolvare:

Conditii de existenta: x²+2x>0 x(x +2)=0

Ecuatia atasata: x(x+2)=0            

Deci x(-∞;-2)(0;+ ∞).

Ecuatia atasata: x²+2x-1=0 =4+4=8.

Deci x(-1-;-1+)

Deci x(-1-;-2).

c)

Rezolvare:

Conditii de existenta:

caz 1 x>1

Ecuatia atasata:

=4-4∙4∙5<0 inecuatia nu are solutii

caz 2 x(0;1)

Deci inecuatia nu are solutii.

A1  Sa se arate ca expresia este independenta de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,y,z.

Rezolvare:

Notam

E este independenta de valorile x,y,z>1.