Probleme de olimpiada matematica rezolvate referat






O1. Sa se rezolve sistemul:

Rezolvare:


Conditii de existenta: x,yR*+




Ecuatia atasata:

1

- - - - - - - 0 - - - - - -



Deci


O2  Sa se gaseasca valorile lui x astfel incat:


Raspuns:


Se observa ca x=0 este solutie

=


Se considera si

x= este solutie unica a ecuatiei

 


f(x) este strict crescatoare pe R

g(x) este strict descrescatoare pe R



O3  Fie aR. Sa se rezolve in R ecuatia:

Rezolvare:


O4  Sa se rezolve sistemul:


Rezolvare:

Conditii de existenta: x,yR*+

Observam ca este solutie a sistemului

Verificare:



Cazul 1 x(0;3)

Din relatiile (1) si (2)→contradictie→nu exista solutii pentru x(0;3) (3)


Cazul 2 x(3;+∞)

Din relatiile (1) si (2)→contradictie→nu exista solutii pentru x(3;+∞) (4)


Din relatiile (3) si (4)→ecuatia are solutie unica


O5  Sa se rezolve ecuatia:

4x+9x+25x=6x+10x+15x


Raspuns:

Observam ca x=0 verifica ecuatia.

Verificare: 1+1+1=1+1+1→3=3 (A)

Solutia 1:

Notam 2x=a

3x=b

5x=c

ecuatia 4x+9x+25x=6x+10x+15x se poate scrie a2+b2+c2=ab+ac+bc


a2+b2≥2ab

a2+c2≥2bc

b2+c2≥2ac   +

2(a2+b2+c2) ≥2(ab+bc+ac)→ a2+b2+c2 ≥ab+bc+ac


Egalitatea are loc daca a=b=c → 3x=2x=5xx=0


Solutia 2


4x+9x-6x =+10x+15x-25x   ⁄ :10x


Definim urmatoarele functii:

Solutia unica este x=0

 
f(x)= este strict descrescatoare pe R

g(x)= este strict crescatoare pe R


O6  Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare:

Observam ca x=2 este solutie a ecuatiei.

Verificare: 


Definim urmatoarele functii:

f(x)=, →f(x) este strict descrescatoare pe R

g(x)=(sin )x, →g(x) este strict crescatoare pe R





f(x)+g(x)= este strict descrescatoare pe R


Deci x=2 este solutie unica.


O7  Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare:

Observam ca x=5 este solutie a ecuatiei.

Verificare: 30=1→1=1 (A)


Definim functiile:

f:R→R, f(x)= este strict crescatoare pe R

g:R→R, g(x)= este strict descrescatoare pe R


f(x)=

x1<x2→x1-5<x2-5→f(x1)<f(x2)→functia este strict crescatoare


g(x)=

x1<x2 x1-4<x2-4g(x1)>g(x2)→functia este strict descrescatoare


Deci x=5 este solutie unica.


N1  Sa se rezolve inecuatiile:

a)    

Rezolvare:

Conditii de existenta: x2+2x>0 x(x +2)=0

x

-2 0

x(x-2)

+ + +0- - - - - - 0+ + + +

Ecuatia atasata: x(x+2)=0            

Deci x(-∞;-2)(0;+ ∞).


Ecuatia atasata: x2+2x-1=0 =4+4=8.

x

-1- -1+

x2+2x-1

+ 0 - - - - - - - 0 + + +


Deci x(-1-;-1+)





Text Box: -1- Text Box: -2Text Box: -1+ Text Box: 0



Deci x(-1-;-2).



c)

Rezolvare:

Conditii de existenta:

caz 1 x>1

Ecuatia atasata:

=4-4∙4∙5<0 inecuatia nu are solutii

caz 2 x(0;1)

Deci inecuatia nu are solutii.


A1  Sa se arate ca expresia este independenta de valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelor x,y,z.


Rezolvare:

Notam


E este independenta de valorile x,y,z>1.





loading...









Copyright © Contact | Trimite referat


Ultimele referate adaugate
Mihai Beniuc
   - Mihai beniuc - „poezii"
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - Mihai eminescu - student la berlin
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Mircea Eliade - Mioara Nazdravana (mioriţa)
Vasile Alecsandri Vasile Alecsandri
   - Chirita in provintie de Vasile Alecsandri -expunerea subiectului
Emil Girlenu Emil Girlenu
   - Dragoste de viata de Jack London
Ion Luca Caragiale Ion Luca Caragiale
   - Triumful talentului… (reproducere) de Ion Luca Caragiale
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Fantasticul in proza lui Mircea Eliade - La tiganci
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - „Personalitate creatoare” si „figura a spiritului creator” eminescian
George Calinescu George Calinescu
   - Enigma Otiliei de George Calinescu - geneza, subiectul si tema romanului
Liviu Rebreanu Liviu Rebreanu
   - Arta literara in romanul Ion, - Liviu Rebreanu














loading...



Scriitori romani