phi Proportia Divina referat






Phi si phi – Proportia divina







Cuprins



1. Phi si phi – Proportia divina.


2. Despre numarul de aur (Phi si phi)


Numarul de aur si Fibonacci 3


Reprezentare grafica – dreptunghiuri de aur.


Alte siruri care tind la Phi


Cateva curiozitati despre Phi ai phi


7. Anexa nr. 1.


8. Reprezentarea grafica.


9. Anexa nr. 2.


10. Programul sursa C++ ce creeaza reprezentarea grafica (din anexa 1)


11. Anexa nr. 3.


12. Numarul Phi cu 20.000 de zecimale.


13. Bibliografie.









Despre numarul de aur (Phi si phi)



Sa incepem cu o problema de estetica. Sa consideram un segment de dreapta. Care este cea mai „placuta” impartire a acestui segment in doua parti ? Unii ar spune ca in doua jumatati, altii ar spune ca in proportie de 3:1


Grecii antici au gasit un raspuns pe care ei il considerau corect (teoreticienii il numesc „simetrie dinamica”). Daca partii stangi a segmentului ii atribuim lungimea u=1, atunci partea dreapta va avea o lungime v=0,618… Despre un segment partitionat astfel spunem ca este impartit in Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divina).



Care este justificatia pentru inzestrarea acestei proportii particulare cu un asemenea statut aparte ? Ideea este ca lungimea u reprezinta aceeasi parte din tot segmentul (u+v) cat reprezinta lungimea v din partea u. Cu alte cuvinte :



Daca notam =u/v, vom rezolva ecuatia pentru Ф, observand ca :



Radacina pozitiva a ecuatiei, care se poate scrie




este :    

o constanta care este numita Numarul de aur sau Proportia divina.



Daca presupunem u=1, atunci


, cum am presupus mai devreme. Notam numarul v = 0.6180339887… = (phi).



Numarul de aur si Fibonacci



Afirmam ca numarul nostru Phi este strans legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin :


f0=0; f1=1; fn= f0+ f1 (oricare n32).


Acest sir exprima (intr-un mod naiv) cresterea populatiei de iepuri. Se presupune ca iepurii au cate doi pui o data la fiecare luna dupa ce implinesc varsta de doua luni. De asemenea, puii nu mor niciodata si sunt unul de sex masculin si unul de sex feminin.



In felul acesta, numarul de perechi de iepuri existente dupa n luni ar trebui sa fie f­­n. Va puneti intrebarea ce poate avea in comun cu sirul lui Fibonacci ? Aceasta este o idee remarcabila a matematicii. Pentru inceput sa observam ca  :




este o fractie infinita.



Acum sa privim fractiile partiale :

Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci succesive, fapt ce „motiveaza” teorema ce spune ca :





In cuvinte putem spune ca, pe masura ce n se apropie de infinit, raportul termenilor al n+1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se apropie de . Aceasta teorema este valabila pentru orice secventa arbitrara ce satisface recurenta :


fn= f0+ f1 (oricare n32), cu proprietatea ca primii doi termeni sunt diferiti.



Reprezentare grafica – dreptunghiuri de aur



Legatura geometrica dintre numarul Phi si numerele lui Fibonacci poate fi vazuta in graficul din anexa 1. Pornind de la un dreptunghi de aur (de lungime si latime 1), urmeaza un sir natural de „cuibariri” ale dreptunghiurilor divine in cel initial.


Lungimea si latimea celui de-al n-lea dreptunghi de aur pot fi scrise ca expresii liniare, unde coeficientii sunt intotdeauna numere Fibonacci. Aceste dreptunghiuri pot fi inscrise intr-o spirala logaritmica, asa cum arata imaginea. Sa presupunem ca punctul din coltul din stanga jos al primului dreptunghi este originea unui sistem rectangular de coordonate. Apare acum intrebarea : unde se afla punctul spre care tinde spirala?



Raspunsul este : spirala tinde spre punctul de coordonate



Asemenea spirale logaritmice sunt echiangulare, in sensul ca orice dreapta ce trece prin punctul taie spirala sub un unghi constant. In sensul acesta, spunem ca spirala este o generalizare a cercului, unde unghiul este de 900. Spirala noastra are un unghi




Spiralele logaritmice se intalnesc destul de des si in natura. De exemplu carcasa unui melc, coltii unui elefant sau conurile de pin au forma de spirala.



Alta aplicatie geometrica a numarului Phi apare la desenarea unui pentagon regulat fara cerc si compas. Aceasta este legata de faptul ca




Alte siruri care tind la Phi




La fel de simplu cum este o fractie infinita, tot asa poate fi si un radical infinit :


Iata alta serie infinita legata de



Dintre multe alte expresii posibile ce se apropie de Ф urmatoarele doua sunt mai cunoscute :




unde



Cateva curiozitati despre Phi si phi



Un prim fapt ce „sare in ochi” si este cel putin curios il constituie relatia simpla intre Ф, si e :



Pare intr-adevar ciudat cum trei numere irationale se „leaga” printr-o expresie atat de simpla, insa matematicienii au demonstrat ca asa stau lucrurile si vrem nu vrem trebuie sa-i credem. Cine nu crede poate folosi un calculator electronic pentru a face niste calcule simple cu vreo opt zecimale si va fi uimit rezultate.


Coincidentele nu se opresc insa aici. Sa consideram urmatorul sir :


f0=0.6180339887…; f1=1.000; f0=1.6180339887… ; f0=2.6180339887…;


fn= f0+ f1 (oricare n32).


Din definitia sirului se observa ca oricare doi termeni consecutivi adunati il dau ca rezultat pe urmatorul. Este insa nevoie de un ochi ager pentru a observa ca prin inmultirea oricarui termen cu Ф=1.6180339887… va rezulta termenul imediat urmator.


Asadar . Prezentam acum cateva egalitati simple cu Ф si ф :








Ф2 = Ф+1


Фn+2= Фn+1+ Фn


ф2= ф +1


фn+2= фn+1+ фn



Anexa nr. 1

Reprezentarea grafica






Anexa nr. 2


Programul sursa C++ ce creeaza reprezentarea grafica (din anexa 1)


#include <iostream.h>

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <graphics.h>

int x31,x32,y31,y32;

void rect1 (int x1, int y1, int x2, int y2)


void rect2 (int x1, int y1, int x2, int y2)


void rect3 (int x1, int y1, int x2, int y2)


void rect4 (int x1, int y1, int x2, int y2)


void gold(int n)


else break;

if (i%4==1) if ((x32>x31)&&(y32>y31))


else break;

if (i%4==2) if ((x32>x31)&&(y32>y31))


else break;

if (i%4==3) if ((x32>x31)&&(y32>y31))


else break;

} }

void main()



Anexa nr. 3


Numarul Phi cu 20.000 de zecimale









Bibliografie



„The Golden Mean” – S. Finch (1999)


„A series representation for the Golden Mean” – B. Rossele (1999)


„Fibonacci Numbers and the Golden Section” – R. Knott (1997)


„Related e-messages” – R. W. Gosper (1997)


„The Golden Mean” – K. Wiedman (19996)








Autori : Fulep Sebastian

Parva Florian




loading...









Copyright © Contact | Trimite referat


Ultimele referate adaugate
Mihai Beniuc
   - Mihai beniuc - „poezii"
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - Mihai eminescu - student la berlin
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Mircea Eliade - Mioara Nazdravana (mioriţa)
Vasile Alecsandri Vasile Alecsandri
   - Chirita in provintie de Vasile Alecsandri -expunerea subiectului
Emil Girlenu Emil Girlenu
   - Dragoste de viata de Jack London
Ion Luca Caragiale Ion Luca Caragiale
   - Triumful talentului… (reproducere) de Ion Luca Caragiale
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Fantasticul in proza lui Mircea Eliade - La tiganci
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - „Personalitate creatoare” si „figura a spiritului creator” eminescian
George Calinescu George Calinescu
   - Enigma Otiliei de George Calinescu - geneza, subiectul si tema romanului
Liviu Rebreanu Liviu Rebreanu
   - Arta literara in romanul Ion, - Liviu Rebreanu














loading...



Scriitori romani