Lasand deoparte constrangerea (2), vom relua problema de maximizare a integralei:
Aceasta problema poate fi privita ca un caz particular
Pe baza acestui fapt, teoremele din sectiunea precedenta
.
Teorema 1 Pentru Lagrangianul , fie 
si 
ce
satisfac ecuatiile:
,
pe o cale optimala pentru problema de maximizare a (1). Atunci cantitatea conservata W este data de:
.
Teorema 2 Pentru Lagrangianul
(3) , fie 
ce satisface
ecuatiile (7) pe o cale optimala pentru problema
de maximizare a(1). Atunci cantitatea conservata W este data de:
.
Teorema 3 In Lagrangianul (3) , fie functia 
omogena de grad r in raport cu 
si
. Atunci exista urmatoarea cantitate
conservata pentru problama de maximizare a (1):
.
Pentru Lagrangianul de forma (3) , vom defini un Hamiltonian modificat (H fiind Hamiltonianul uzual):
,
unde r este
gradul de omogenitate al lui U.
Atunci cantitatea conservata (15) este scrisa 
, unde 
, care va fi redusa la o cantitate conservata ma
tarziu.
Teorema 4 In Lagrngianul (3) , fie
functia omogena de grad r in raport cu si .Atunci exista urmatoarele doua
cantitati conservate pentru problema de maximizare a(1):
,
.
Teoremele stabilite in sectiunea precedenta pot fi aplicate efectiv pentru derivarea unor noi legi de conservare in cateva modele de crestere economica.
i. O generalizare a modelului de crestere de tipul von Neumann.
Prima aplicatie este data de n mijloace fixe 
si n mijloace de formare a capitalului fix 
. Deci in teorema 1, datorita teoremei 4, 
si 
sunt privite respectiv
ca o functie de utilitate omogena de grad r si o functie de transformare omogena de gradul
intai, in raport cu 
si 
, si r este rata de scont constanta.
In aceasta situatie, cantitatea conservata (15) se transforma imediat in:
In particular,pentru 
(
=const.), cantitatea 
se reduce la:
Aceasta cantitate conservata nu poate fi separata in doua cantitati conservate independente prntru integrarea functiei.
In cazul 
, presupunem ca U este
derivata totala in raport cu timpul a functiei 
omogena de gradul
intai in raport cu , 
. Atunci U este
omogena de gradul intai in raport cu , 
. Deci vom avea:
.
Prin urmare, cantitatile conservate (19)
si (20) cu gradul de omogenitate 
conduc respectiv la:
, 
,
care sunt, in cazul 
, chiar cele ale lui Samuelson.
Pe de alta parte, dupa cum am vazut mai inainte,
este o solutie ce
satisface (6) si (7) pe un drum optim. Aici solutia se reduce la 
. Si, tinand seama de ecuatiile (5) cu 
si
:
,
vom obtine imediat o alta solutie 
. Ambele cantitati conservate 
sau 
pot fi obtinute
deci prin inlocuirea lui 
in (10) sau 
si 
in (8), respectiv.
