Sume Riemann referat






INTEGRALE DEFINITE


SUME RIEMANN


Definitie: Se da colectia de obiecte:



[a,b] – interval inchis

D– diviziune a intervalului [a,b]

D = (a=x0<x1<x2<…<xn=b)

f:[a,b] R

xI – un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul [a,b]

xI I [xi-1,xi]


Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii D si sistemului de puncte intermedi-are xI numarul notat:

n

sD(f,xi) = S f(xi)*(xi-xi-1)

i=1


INTEGRALE IN SENS RIEMANN


Definitie: Se da f:[a,b] R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca if I R a.i. e>0, he>0 cu proprietatea ca D o diviziune a intervalului [a,b] si (xi) un sistem de puncte intermediare, xi I [xi-1,xi] cu ||D||<he sa avem |sD(f,xi) – if |<e.


if – se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a,b]

b

notez: if = f(x)*dx.

a


b

Obs:

1) Numarul real if este unic; f(x)*dx este unica.

a

Demonstratie:

P.p.a. ca i1 i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru e>0 hk,e>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune:

D=(x0,x1,…,xn) a lui [a,b] cu ||D|| < he si orice puncte intermediare xi-1 xi xi (1 i n) sa avem:

|sD(f,x)-ik|<e/2 (k=1,2).


Luand he = min(h1,e , h2,e) rezulta ca pentru orice diviziune D a lui [a,b] cu ||D||<he si orice sistem (xi) de puncte intermediare asociat lui D, avem:

|sD(f,x)-i1| < e/2 si |sD(f,x)-i2| < e/2,

deci: |i1– i2| < |i1– sD(f,x)| + |sD(f,x)-i2| < e/2+e/2 = e.


Cum e > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1 i2 T contradictie.

Deci if este unic.


2) f:[a,b] R

f – integrabila in sens Riemann pe [a,b] T f marginita pe [a,b]


Demonstratie:

f – integrabila pe [a,b] T if I R a.i. D o diviziune a lui [a,b] si e>0, he>0 pentru care ||D||<he T |sD(f,xi) – if |<e xi un sistem de puncte intemediare.


Arat ca f este marginita pe [xk-1,xk]

x, i k

Fie xi=

ixi, i=k


n n

sD(f,xi) = S f(xi)*(xi-xi-1) = S f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1)

i=1 i=1

i k

|sD(f,xi) – if | < e



–e < sD(f,xi) – if < e /+ if

–e + if < sD(f,xi) < e + if


n

–e + if < S f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) < e + if

i=1

i k


1/(xk-xk-1)*[ – e + if – S f(xi)*(xi-xi-1)] < f(x) < 1/(xk-xk-1)*[ – e + if – S f(xi)*(xi-xi-1)]

[ ] [ ]

M1 M2

M1< f(x) < M2

T f – marginita pe [xk-1,xk] k I T f – marginita pe [a,b]


3) f,g:[a,b] R

A [a,b]

A finita, cu proprietea:

i)            g integrabila pe [a,b]

ii)          f(x)=g(x) xI[a,b]A


atunci: a) f – integrabila pe [a,b]

b b

b) g(x)*dx = f(x)*dx

a a


Demonstratie:

Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A=.

Functia g fiind integrabila, este marginita, deci M1 0 astfel incat:

|g(x)| M1 xI[a,b]


Luand M = max( M1, |f(c)| ) T f(x) M si g(x) M       xI[a,b].

g – integrabila e > 0, h’e > 0 a.i.:

b

| sD(g,xi) – g(x)*dx | < e/2

a

D = (x0, x1,…,xn), cu ||D|| < h’e si sistemul de puncte intermediare xi.

Luand he = min (h’e, e/(8*M) ), avem he he si 4*M*he e/2.

Daca c este un punct al diviziunii D, atunci 0 i n astfel incat c = xj. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele xj sau xj+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) x c, obtinem:


| sD(g,xi) – sD(f,xi) | = | S ( g(xi) – f(xi) )*( xi – xi-1 )| | g(xj) – f(xj)|*(xj – xj-1) + | g(xj+1) – – f(xj+1)|*(xj+1 – xj) 4*M*||D|| < 4*M*he < e/2


Daca c nu este punct al diviziunii D, atunci c este continut intr-un interval deschis

(xk-1,xk). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul xk, prin urmare:


| sD(g,xi) – sD(f,xi) | = | S ( g(xi) – f(xi) )*( xi – xi-1 )| | g(xk) – f(xk)|*(xk – xk-1) 2*M*||D|| 2*M*he < e/2






Din analiza facuta pana acum rezulta ca:

| sD(g,xi) – sD(f,xi) | < e/2


Din 1) si 2) obtinem:

b

| sD(f,xi) – g(x)*dx | < e

a

b b

adica f este integrabila si: f(x)*dx = g(x)*dx.

a a



EXEMPLE:


f:[a,b] R

f(x) = k

a

T f – integrabila si k*dx = k*(b-a)

b


if = k*(b-a) a.i. e > 0 he > 0 cu proprietatea ca D= (x0=a<x1<…<xn=b) si

xi I[xi-1,xi], ||D||<he T |sD(f,xi) – if |<e


sD(f,xi) = S f(xi)*(xi–xi-1) = S k(xi–xi-1) = k*S (xi–xi-1) = k(x1–x0+x2–x1+…+xn–xn-1) =

= k*(xn – x0) = k*(b-a)


|sD(f,xi) – if | = |k*(b-a) – k*(b-a)| = 0 < e e>0.



f,g:[a,b] R

1, pentru xIQ -1, pentru xIQ

f(x) = g(x) =

i-1, pentru xIRQ i 1, pentru xIRQ


f,g – nu sunt integrabile


Demonstratie pentru f(x) :

Fie D= (a=x0<x1<…<xn=b), avem:

S 1*(xi – xi-1) = b-a, pentru xi I Q

sD(f,x) =

iS (-1)*(xi – xi-1) = a-b, pentru xi I RQ


Cum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor xi, functia nu este integrabila.

Demonstratia se face analog pentru g(x).


Desi f,g nu sunt integrabile functiile:

(f+g)(x) = 0 xI[a,b]

(f*g)(x) = -1 xI[a,b]

(fog)(x) = 1 xI[a,b]

sunt integrabile ca fiind functii constante.


Sa se cerceteze integrabilitatea functiei:

0, daca x este irational sau x = 0

G(x) =

i 1/q, daca x = p/q, p/q fractie ireductibila


Rezolvare: Functia este integrabila pe segmentul [0,1]. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul [0,1] avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie acesta k. Fie D o diviziune arbi-trara a segmentului [0,1]. Exista cel mult 2k intervale partiale (pe care le notam d1’,d2’,…,d2k’) care sa contina cele k puncte considerate anterior. Fiind dat e>0, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului e/2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d1”, d2”,… d2m” celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele di” (i = 1, 2, …, m) contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x = p/q, q>N, si astfel ca G(p/q) = =1/q<1/N. Deci :

2k m

Sd(G) – sd(G) = S (Mi’ – mi’)si’ + S (Mi” – mi”)si”

i=1 i=1

Am notat cu Mi’, respectiv mi’ marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di’ si cu Mi”, respectiv mi” marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di”, si’ este lungimea lui di’, iar si” este lungimea lui di”.

Deoarece Mi’ – mi’<1, mi” = 0, Mi”<1/N, i, avem

2k                               m

Sd(G) – sd(G) < S si’ + (1/N)*S si” < e/2 + 1/N.

i=1       i=1

Daca N > 2/e, atunci 1/N < e/2 si Sd(G) – sd(G) < e.

Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a

1

functiei este 0, avem sd(G) = 0, D; rezulta I = G(x)dx = 0. Datorita integrabilitatii functiei

0

G, avem :

1

G(x)dx = 0.

0

Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila.





loading...









Copyright © Contact | Trimite referat


Ultimele referate adaugate
Mihai Beniuc
   - Mihai beniuc - „poezii"
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - Mihai eminescu - student la berlin
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Mircea Eliade - Mioara Nazdravana (mioriţa)
Vasile Alecsandri Vasile Alecsandri
   - Chirita in provintie de Vasile Alecsandri -expunerea subiectului
Emil Girlenu Emil Girlenu
   - Dragoste de viata de Jack London
Ion Luca Caragiale Ion Luca Caragiale
   - Triumful talentului… (reproducere) de Ion Luca Caragiale
Mircea Eliade Mircea Eliade
   - Fantasticul in proza lui Mircea Eliade - La tiganci
Mihai Eminescu Mihai Eminescu
   - „Personalitate creatoare” si „figura a spiritului creator” eminescian
George Calinescu George Calinescu
   - Enigma Otiliei de George Calinescu - geneza, subiectul si tema romanului
Liviu Rebreanu Liviu Rebreanu
   - Arta literara in romanul Ion, - Liviu Rebreanu














loading...



Scriitori romani