1) Teoreme si propozitii de paralelism:

Teorema1: o dreapta necontinuta intr-un plan este paralela cu planul daca si numai daca ea este paralela cu o dreapta continuta in plan.

a a

a b

b a

T a  a

Teorema2: doua plane sunt paralele daca unul dintre ele contine 2 drepte concurente, amandoua paralele cu al doilea plan.

a b

a a

b a

a b =

T a b

Teorema3: daca 2 plane sunt paralele, oricare dreapta continuta intr-unul din plane este paralela cu celalalt plan.

a b

d b

T d   a

Teorema4 (umbrei): daca a este o dreapta paralela cu planul a, iar b este un plan care contine dreapta a, atunci b a, sau b se intersecteaza cu a dupa o dreapta paralela cu dreapta a.

a a

a b

b a = d

d

a

d

P

b

T d    a

Teorema5: fie a o dreapta inclusa sau paralela cu planul a si fie o dreapta b paralela cu a, dusa printr-un punct A al planului a, atunci dreapra b e inclusa in a

a a

sau si A I a

a a b a

A I b

T b a

Teorema6: daca a, b, c sunt trei drepte astfel incat a b si b c, atunci a c.

Teorema7:daca un plan intersecteaza 2plane paralele,atunci intersectiile sunt drepte paralele.

a b T a   b

g a = a;  g b = b

Teorema8: doua plane distincte, fiecare paralele cu un al treilea plan sunt paralele intre ele.

a b

T a b

a g

b g

2) Teoreme si propozitii de perpendicularitate:

Definitie: o dreapta este perpendiculara pe un plan daca este perpendiculara pe orice dreapta a planului.

Teorema1: daca o dreapta este perpendiculara pe 2 drepte concurente dintr-un plan, atunci ea este perpendiculara pe plan.

Teorema2: dintr-un punct M, continut intr-un plan a, se poate duce o singura dreapta perpendiculara pe a

Teorema3: doua plane perpendiculare pe aceeasi dreapta sunt paralele.

Teorema4: exista un unic plan perpendicular intr-un punct dat, pe o dreapta data.

Teorema5: doua drepte perpendiculare pe un plan sunt paralele.

	T b a

* O este centrul cercului circumscris triunghiului DABC

3) Teorema celor trei perpendiculare:

Fie a un plan, A un punct,A a si a o dreapta, a a.Daca AA' a,A' I a si A'B a,B I a, atunci AB a

4) Teorema lui THALES in spatiu:

Trei sau mai multe plane paralele determina pe 2 drepte oarecare segmente respectiv proportionale.

5) Teorema lui MENELAOS in spatiu:

Un plan intersecteaza muchiile [AB], [BC], [CD], respectiv [AD] ale tetraedrului ABCD in punctele M, N, P, Q. Demonstrati ca:

6) Teorema bisectoarei:

E

C

B

A

Intr-un triunghi, o bisectoare determina pe latura opusa segmente proportionale cu laturile unghiului.

7) Teorema inaltimii:

Intr-un triunghi dreptunghic, inaltimea este media geometrica a proiectiilor catetelor pe ipotenuza.

AD =

AD² = BD CD

8) Teorema catetei:

Intr-un triunghi dreptunghic, o cateta este media geometrica intre ipotenuza si proiectia acestei catete pe ipotenuza.

AB² = BD BC

AC² = CD BC

9) Teorema cosinusului:

A

In triunghiul ABC, cosinusul unghiului a este egal cu raportul dintre diferenta sumei patratelor laturilor unghiului cu patratul laturii opuse unghiului si dublul produsului laturilor unghiului.

			C

10) Teorema proiectiei:

Lungimea proiectiei unui segment pe un plan este egala cu produsul dintre lungimea segmentului si cosinusul unghiului dintre dreapta suport si planul respectiv.

j=m(AB ; a

cos j =

AD = AB cos j

Daca j T cos 0⁰ = 1 T AD=AB

j T cos 90⁰ = 0 T AD=0

Aceasta teorema se poate extinde si la alte figuri geometrice:

			cos Q = DOBC = pra DABC) S' = S cos Q