|
ANALIZA COMBINATORIE BINOMUL LUI NEWTON, INDUCTIA MATEMATICA COMPLETAMETODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE. ANALIZA COMBINATORIE. BINOMUL LUI NEWTON. SUME. 1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE Este o metoda de rationament prin care stabilim ca: O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural n³k atunci sunt satisfacute simultan conditiile:
2. PERMUTARI Fie E={1, 2, …,n} o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E ® E. 49894osx16tct4e Notam permutarea in felul urmator Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3…n conditie de existenta: nIN conventie: 0!=1 ; 1!=1 Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)! 3. ARANJAMENTE Notam cu Ank Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (n³k), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k. sc894o9416tcct Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1 c.e. n³k conventie: n=k Þ Ann=Pn 4. COMBINARI Cnk conventie: Cn0=Cnn=1 c.e. n³k Formule pentru combinari complementare: Cnk=Cnn-k Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1 5. BINOMUL LUI NEWTON Daca a, bIR, nIN, atunci: (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnkan-kbk+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn sau Tk+1=termen general k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii
(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-…+(-1)n-kCnkan-kbk+…+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn sau Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni. 2) Cn0, Cn1, Cn2,…,Cnn se numesc coeficienti binomiali 3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen. 4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia: 5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci: Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1 6) Identitatile utile:
7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale
Fie k³1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+…+nk Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,…n.
Folosim dezvoltarea (a+1)3=a3+3a2+3a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,…n. Folosim dezvoltarea (a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,…n
Caz particular
6. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE
Teorema : Fie numerele an-1, an, an+1 in progresie aritmetica. Atunci: 2an=an-1+an+1
Def: Fie numerele a1, a2, a3,…,an in progresie aritmetica, daca an=a1+(n-1)r sau an=an-1+1, unde: an= ultimul termen a1=primul termen an-1=penultimul termen n=numarul de termeni r=ratia progresiei aritmetice
Obs: Pentru verificare r=a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=an-an-1 Teorema: Fie numerele bn-1, bn, bn+1 in progresie geometrica. Atunci bn2=bn-1.bn+1 Def: Fie numerele b1, b2,…bn in progresie geometrica, daca bn=b1.qn sau bn=bn-1.q unde: bn=ultimul termen b1=primul termen bn-1=penultimul termen n=numarul de termeni q=ratia progresiei geometrice Obs: pentru verificare q=a2/a1=a3/a2=…=an/an-1 |
