Subgrup

Definitie1

Fie (G,*) un grup.

O submultime nevida H a lui G se numeste subgrup a lui G daca sunt satisfacute urmatoarele conditii :

1." x,y I H => x*y IH

2." x I H =>x’ I H 26597ihv66sud1u

unde x’ este simetricul lui x (in raport cu operatia lui G)

Teorema

Fie (G,*) un grup, e elementul neutru a lui G si H un subgrup al lui G.Atunci:

1. e I H

2. H este grup in raport cu operatia indusa pe H de catre operatia grupului hu597i6266suud

G.

Demonstratie :

1.H Í G => * lege de compozitie interna pe H

i." x,y I H => x*y IH

2i. " x I H =>x’ I H

=>x*x’ I H

dar x*x’=e =>eIH

2.*:H®H op.indusa

H parte stabila a lui G

• (G,*) un grup => * asociativa pe G => * asociativa pe H

• $ e I H a.i. x*e=e*x =x "xIH

• "xIH ,$x’ I H a.i. x*x’=x’*x =e

=>H=Grup

Exemple

1.Fie (G,*) un grup, e elementul neutru si E={e}.Atunci E este subgrup al lui G ,numit subgrup unitate.

Daca x,z IE =>x=y=e deci

x*y=y*x=eIE

x’=e’=eIE

2.Fie n>=0 un numar intreg si nZ multimea tuturor multiplilor lui n,

nZ={nh | h I Z}

Atunci nZ este subgrup al grupului (Z,+).

Adevarat : daca x,y InZ, $ h,k I Z a.i. x=nh ,y=nk

=>x+y=nh+nk=n(h+k) InZ

-x= -(nh)=n(-h) I nZ

deci nZ este subgrup al lui (Z,+)

Definitie

Fie (G,·) un grup ,a IG si n>0.Spunem ca a este element de ordinul n al grupului G daca aⁿ =e si a^h ¹e,h=1,2 …n-1