5. PUTERI SI RADICALI

Puteri cu exponent natural:

• aⁿ unde aI|R, nI|N; 33993jfe72qfc5n

• a⁰=1;

• a¹=a;

• aⁿ = ;

• a – baza puterii; ff993j3372qffc

• n – exponentul puterii;

• (ab)ⁿ=aⁿbⁿ, "a,bI|R, nI|N^*;

• (a^m)ⁿ=a^mn, "aI|R, m,nI|N^*;

• a^m×aⁿ=a^m+n, "aI|R, m,nI|N^*;

• , b¹0, "a,bI|R, nI|N^*;

• , "aI|R^*, m,nI|N^*, m>n.

Puteri cu exponent intreg negativ:

• a^-n= unde aI|R^*, nI|N;

• restul proprietatilor se pastreaza.

Puteri cu exponent rational pozitiv:

• , a≥0, Iℚ₊;

• , a≥0, ,Iℚ₊;

• , a,b≥0, Iℚ₊;

• , a≥0, b>0, Iℚ₊;

• , a≥0, , Iℚ₊;

• , a>0, ,Iℚ₊, >.

Puteri cu exponent rational negativ:

• , a>0, Iℚ₊;

• restul proprietatilor se pastreaza.

Functia putere cu exponent natural nenul:

• f(x)=xⁿ, f:|R®|R, nI|N^*;

• monotonia: ;

• paritate: ;

• semn: .

Functia putere cu exponent intreg negativ:

• f(x)=x^-n, f:|R-{0}®|R, nI|N^*;

• monotonia: ;

• paritate: ;

• semn: .

Functia putere cu exponent rational:

• f(x)==, f:(0, ¥) →(0, ¥), Iℚ^*;

• daca >0 ⇒ f strict crescatoare;

• daca <0 ⇒ f strict descrescatoare.

Radicalul unui numar pozitiv:

• ecuatia xⁿ-a=0 (nI|N, n³2, aI|R, a>0) are o singura radacina reala pozitiva;

• daca a>0, nI|N, n³2 se numeste radical de ordin n din a, numarul pozitiv a carui putere a n-a este a;

• notatie x=;

• notatie =;

• =0;

• ;

Radicalul de ordin impar al unui numar negativ:

• ecuatia xⁿ-a=0 (nI|N, n³2, n impar, aI|R, a<0) are o singura radacina reala negativa;

• daca a<0, nI|N, n³2, n impar, se numeste radical de ordin n din a, numarul negativ a carui putere a n-a este a;

• notatie x==;

Proprietatile radicalilor: " m, n, kIℕ^*, m, n, k≥2

• P1) , "a,b≥0;

• P2) , " a≥0, b>0;

• P3) , " a≥0;

• P4) ()^m =," a≥0;

• P5) =," a≥0;

• P6) ," a≥0.

Operatii cu radicali:

1. scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numarul de sub radical in factori, se aplica proprietatile 1, 3 si 5;

2. introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizeaza proprietatile 1, 3 si 5;

3. inmultirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatea 1 si 5;

• , a₁, a₂, …, a_k≥0;

• , a, b≥0;

4. impartirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatile 2 si 5;

• , " a≥0, b>0;

• , " a≥0, b>0;

5. rationalizarea numitorilor:

• operatia de eliminare a radicalilor de la numitorul fractiilor;

• expresii conjugate: - expresii cu radicali care prin inmultire dau o expresie fara radicali;

• , a, b≥0;

• , a, b≥0;

• , a, b≥0;

• , a, b≥0, n impar;

Functia radical:

• f(x)= , f:[0, ¥)®[0, ¥), nI|N, n³2;

• monotonia: f strict crescatoare pe [0, ¥);

• f(x)³0 "xI[0, ¥);

• functia este bijectiva;

• inversa ei este functia putere.

• f(x)= , f:|R®|R, nI|N, n³2, n impar;

Ecuatii irationale:

• ecuatii care contin necunoscuta sub semnul radical;

• rezolvarea consta in eliminarea radicalilor prin diferite transformari (ridicari la putere = cu ordinul radicalului, inmultire cu expresia conjugata), reducandu-le la ecuatii studiate;

• conditii de existenta numai pentru radicali de ordin par : f(x)≥0 unde f(x) este o expresie in functie de x;